华南理工大学 2026年高等代数第1题
📝 题目
1．（15 分）求所有整数 $m$ ，使得 $\displaystyle f(x)=x^{5}+m x+1$ 在有理数域上可约．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用有理根定理寻找一次因子
多项式 $f(x)=x^5+mx+1$ 是整系数多项式。根据有理根定理，如果它有有理根，则根必须是 $\pm 1$。计算 $f(1)=1+m+1=m+2$，$f(-1)=-1-m+1=-m$。因此，当 $m=-2$ 时，$x=1$ 是根；当 $m=0$ 时，$x=-1$ 是根。这两种情况下 $f(x)$ 有一次因子，故可约。
公式：有理根定理：若整系数多项式 $a_n x^n+\cdots+a_0$ 有有理根 $p/q$（既约），则 $p|a_0$，$q|a_n$。
提示：注意检查 $\pm 1$ 是否确实为根，代入计算时符号不要出错。
步骤 2/6
目标：假设无有理根时的分解形式
当 $f(x)$ 没有有理根时，它可能分解为二次和三次因式的乘积。设 $f(x)=(x^2+ax+b)(x^3+cx^2+dx+e)$，其中 $a,b,c,d,e$ 为整数。展开得 $x^5+(a+c)x^4+(ac+b+d)x^3+(ad+bc+e)x^2+(ae+bd)x+be$。
公式：多项式乘法展开式。
提示：注意展开后各项系数对应相等，不要遗漏项。
步骤 3/6
目标：比较系数得到方程组
与 $f(x)=x^5+mx+1$ 比较系数，得方程组：
\[
\begin{cases}
a+c=0 \\
ac+b+d=0 \\
ad+bc+e=0 \\
ae+bd=m \\
be=1
\end{cases}
\]
由 $be=1$ 得 $b=e=1$ 或 $b=e=-1$。
公式：系数对应相等。
提示：注意 $x^4$、$x^3$、$x^2$ 项系数均为0，$x$ 项系数为 $m$，常数项为1。
步骤 4/6
目标：情况1：b=e=1
代入 $b=e=1$，方程组化为：
\[
\begin{cases}
a+c=0 \\
ac+1+d=0 \\
ad+c+1=0 \\
a+d=m
\end{cases}
\]
由 $a+c=0$ 得 $c=-a$。代入第二式得 $-a^2+1+d=0$，即 $d=a^2-1$。代入第三式得 $a(a^2-1)-a+1=a^3-2a+1=0$。解 $a^3-2a+1=0$，有理根可能为 $\pm1$。检验得 $a=1$ 是根。于是 $c=-1$，$d=0$，$m=a+d=1$。此时 $f(x)=(x^2+x+1)(x^3-x^2+1)$，可约。
公式：三次方程 $a^3-2a+1=0$ 的有理根求解。
提示：解三次方程时优先尝试有理根定理，注意 $a$ 为整数。
步骤 5/6
目标：情况2：b=e=-1
代入 $b=e=-1$，方程组化为：
\[
\begin{cases}
a+c=0 \\
ac-1+d=0 \\
ad+c-1=0 \\
-a-d=m
\end{cases}
\]
由 $a+c=0$ 得 $c=-a$。代入第二式得 $-a^2-1+d=0$，即 $d=a^2+1$。代入第三式得 $a(a^2+1)-a-1=a^3-1=0$，解得 $a=1$。于是 $c=-1$，$d=2$，$m=-a-d=-3$。此时 $f(x)=(x^2+x-1)(x^3-x^2+2x-1)$，可约。
公式：三次方程 $a^3-1=0$ 的求解。
提示：注意 $m$ 的表达式为 $-a-d$，不要忘记负号。
步骤 6/6
目标：汇总所有可约的m值
综合以上，当 $m=-2$（一次因子 $x-1$）、$m=0$（一次因子 $x+1$）、$m=1$（二次与三次因子乘积）、$m=-3$（二次与三次因子乘积）时，$f(x)$ 在有理数域上可约。因此所有整数 $m$ 为 $-3,-2,0,1$。
公式：无。
提示：注意不要遗漏 $m=-2$ 和 $m=0$ 这两种一次因子情况。
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