华南理工大学 2026年高等代数第2题
📝 题目
2．（15 分）已知 $n$ 阶上三角矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
& 1 & \cdots & 1 \\
& & \ddots & \vdots \\
& & & 1
\end{array}\right)
$$
求 $\displaystyle |A|$ 的所有元素的代数余子式之和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确矩阵结构并计算行列式
矩阵 $A$ 是 $n$ 阶上三角矩阵，主对角线元素均为 $1$，且 $i
公式：上三角矩阵的行列式等于主对角线元素之积
提示：注意上三角矩阵中下三角元素全为0，行列式直接计算即可。
步骤 2/7
目标：定义所求和的代数余子式之和
我们需要求 $|A|$ 的所有元素的代数余子式之和，即
$$S=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n A_{ij},$$
其中 $A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。
提示：代数余子式 $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，$M_{ij}$ 为余子式。
步骤 3/7
目标：利用行列式展开定理建立关系
由于 $|A|=1$，根据行列式按行展开定理，对任意固定的 $i$，有
$$\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}=|A|=1,$$
而对 $k\neq i$，有
$$\sum_{j=1}^n a_{kj}A_{ij}=0.$$
这些关系将用于后续推导。
公式：$$\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}=|A|,\quad \sum_{j=1}^n a_{kj}A_{ij}=0\ (k\neq i)$$
提示：注意代数余子式与元素位置对应，不要混淆行和列。
步骤 4/7
目标：将代数余子式之和与逆矩阵元素联系起来
对于可逆矩阵 $A$，其逆矩阵 $A^{-1}$ 的元素与代数余子式满足关系：
$$(A^{-1})_{ji}=\frac{A_{ij}}{|A|}=A_{ij},$$
因为 $|A|=1$。因此，$S$ 等于 $A^{-1}$ 的所有元素之和。
公式：$$(A^{-1})_{ji}=\frac{A_{ij}}{\det(A)}$$
提示：注意下标顺序：$(A^{-1})_{ji}$ 对应 $A_{ij}$，不要写反。
步骤 5/7
目标：计算逆矩阵 $A^{-1}$
将 $A$ 写为 $A=I+N$，其中 $N$ 是严格上三角矩阵（$N_{ij}=1$ 当 $j>i$，否则为0）。由于 $N^n=0$，利用幂级数展开：
$$A^{-1}=(I+N)^{-1}=I-N+N^2-\cdots+(-1)^{n-1}N^{n-1}.$$
通过计算或观察，可得 $A^{-1}$ 的具体形式：主对角线为1，次对角线（$j=i+1$）为 $-1$，其余元素为0。即
$$A^{-1}=\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & -1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}.$$
验证：$A$ 乘以该矩阵等于单位阵。
公式：$$(I+N)^{-1}=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k N^k$$
提示：注意 $N$ 的幂次：$N^k$ 中非零元素位于 $j-i\geq k$ 的位置，但此处只需知道 $A^{-1}$ 的简单形式即可。
步骤 6/7
目标：计算 $A^{-1}$ 的所有元素之和
$A^{-1}$ 的主对角线有 $n$ 个1，次对角线有 $n-1$ 个 $-1$，其余元素全为0。因此所有元素之和为
$$n\cdot 1 + (n-1)\cdot(-1) = n - (n-1) = 1.$$
提示：注意次对角线元素个数为 $n-1$，不要误算为 $n$。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
因此，$|A|$ 的所有元素的代数余子式之和 $S=1$。
提示：最终结果是一个常数，与 $n$ 无关。
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