华南理工大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8．（20分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，且 $V$ 上线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示为
$$
A=\left(\begin{array}{cccccc}
\lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
1 & \lambda & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \lambda & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 0 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \lambda
\end{array}\right)
$$
证明：
（1）$V$ 是仅有的包含 $\displaystyle \alpha_{1}$ 的 $\displaystyle \sigma$ 不变子空间．
（2）$\displaystyle \sigma$ 的任意不变子空间必包含 $\displaystyle \alpha_{n}$ ．（应该指明非零不变子空间）
（3）每个子空间 $\displaystyle V_{i}=L\left(\alpha_{n-i+1}, \cdots, \alpha_{n}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ 为 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间，且 $\displaystyle \alpha \in V_{i}$ 当且仅当 $\displaystyle (\sigma-\lambda \varepsilon)^{i} \alpha=0$ ，其中 $\displaystyle \varepsilon$ 为恒等变换．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明包含α₁的σ不变子空间只有V
设$W$是包含$\alpha_1$的$\sigma$不变子空间。由于$\sigma(\alpha_1)=\lambda\alpha_1$，故$\alpha_1\in W$。由$\sigma(\alpha_2)=\alpha_1+\lambda\alpha_2$得$\alpha_2=\sigma(\alpha_2)-\lambda\alpha_2\in W$。类似地，$\sigma(\alpha_3)=\alpha_2+\lambda\alpha_3$得$\alpha_3\in W$。依此类推，可得$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\in W$，故$W=V$。因此$V$是仅有的包含$\alpha_1$的$\sigma$不变子空间。
公式：$\sigma(\alpha_i)=\alpha_{i-1}+\lambda\alpha_i$（$i\geq2$），$\sigma(\alpha_1)=\lambda\alpha_1$
提示：注意归纳推理：从$\alpha_1$开始，利用不变子空间对$\sigma$封闭，逐步推出所有基向量都在$W$中。
步骤 2/4
目标：证明任意非零σ不变子空间必包含αₙ
设$U$是$\sigma$的非零不变子空间。取$0\neq\beta\in U$，设$\beta=\sum_{i=1}^n x_i\alpha_i$，且$k$是使得$x_k\neq0$的最大下标。则$\sigma(\beta)=\lambda\beta+\sum_{i=2}^n x_i\alpha_{i-1}$，于是$\sigma(\beta)-\lambda\beta=\sum_{i=2}^n x_i\alpha_{i-1}\in U$。该向量中$\alpha_{k-1}$的系数为$x_k\neq0$，且下标最大为$k-1$。重复此过程，每次降低最大下标，最终可得$\alpha_n\in U$。故任意非零不变子空间必包含$\alpha_n$。
公式：$\sigma(\beta)-\lambda\beta=\sum_{i=2}^n x_i\alpha_{i-1}$
提示：注意选取$\beta$中下标最大的非零系数，通过反复应用$\sigma-\lambda\varepsilon$得到$\alpha_n$。
步骤 3/4
目标：证明V_i是σ不变子空间
对任意$\alpha\in V_i$，设$\alpha=\sum_{j=n-i+1}^n a_j\alpha_j$。则$\sigma(\alpha)=\sum_{j=n-i+1}^n a_j\sigma(\alpha_j)$。由于$\sigma(\alpha_j)=\alpha_{j-1}+\lambda\alpha_j$（$j\geq2$），且$\sigma(\alpha_1)=\lambda\alpha_1$。当$j=n-i+1$时，$\alpha_{j-1}=\alpha_{n-i}\notin V_i$，但$\sigma(\alpha)$中$\alpha_{n-i}$的系数为$a_{n-i+1}$，而$\alpha_{n-i+1}\in V_i$，其余项均在$V_i$中。实际上，$\sigma(\alpha)=\lambda\alpha+\sum_{j=n-i+2}^n a_j\alpha_{j-1}$，其中$\sum_{j=n-i+2}^n a_j\alpha_{j-1}\in V_i$，故$\sigma(\alpha)\in V_i$。因此$V_i$是$\sigma$不变子空间。
公式：$\sigma(\alpha)=\lambda\alpha+\sum_{j=n-i+2}^n a_j\alpha_{j-1}$
提示：注意$\alpha_{n-i}$的系数恰好是$a_{n-i+1}$，但$\alpha_{n-i+1}\in V_i$，所以整体仍在$V_i$中。
步骤 4/4
目标：证明α∈V_i当且仅当(σ-λε)^i α=0
记$\tau=\sigma-\lambda\varepsilon$，则$\tau(\alpha_1)=0$，$\tau(\alpha_j)=\alpha_{j-1}$（$j\geq2$）。于是$\tau^k(\alpha_j)=\alpha_{j-k}$（若$j>k$），否则为0。因此$\tau^i(\alpha_j)=0$当且仅当$j\leq i$。故$\alpha\in V_i$即$\alpha$可表示为$\alpha_{n-i+1},\dots,\alpha_n$的线性组合，此时$\tau^i(\alpha)=0$。反之，若$\tau^i(\alpha)=0$，设$\alpha=\sum_{j=1}^n c_j\alpha_j$，则$\tau^i(\alpha)=\sum_{j=i+1}^n c_j\alpha_{j-i}=0$，故$c_{i+1}=\dots=c_n=0$，即$\alpha\in V_i$。
公式：$\tau(\alpha_j)=\alpha_{j-1}$（$j\geq2$），$\tau(\alpha_1)=0$
提示：注意$\tau^i$的作用效果：将$\alpha_j$映射为$\alpha_{j-i}$（若$j>i$），否则为0。
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