华南理工大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5．（20 分）设 $\displaystyle L_{i}=c_{i 1} x_{1}+c_{i 2} x_{2}+\cdots+c_{i n} x_{n}, i=1,2, \cdots, p+q, c_{i j} \in \mathbb{R}$ ，证明：实二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=L_{1}^{2}+\cdots+L_{p}^{2}-L_{p+1}^{2}-\cdots-L_{p+q}^{2}
$$
的正惯性指数 $\displaystyle \leq p$ ，负惯性指数 $\displaystyle \leq q$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将二次型表示为线性函数平方和的形式
设 $L_i = \sum_{j=1}^n c_{ij} x_j$，$i=1,\dots,p+q$。则二次型 $f = \sum_{i=1}^p L_i^2 - \sum_{i=p+1}^{p+q} L_i^2$。
公式：$f = \sum_{i=1}^p L_i^2 - \sum_{i=p+1}^{p+q} L_i^2$
提示：注意 $L_i$ 是 $x_1,\dots,x_n$ 的线性函数，系数为实数。
步骤 2/6
目标：引入线性变换，将二次型转化为标准形式
考虑线性变换 $\mathbf{y} = C\mathbf{x}$，其中 $C$ 是 $(p+q)\times n$ 矩阵，$\mathbf{y} = (L_1,\dots,L_{p+q})^T$。则 $f = y_1^2+\cdots+y_p^2 - y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2$。
公式：$f = y_1^2+\cdots+y_p^2 - y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2$
提示：注意 $\mathbf{y}$ 的维数 $p+q$ 可能大于 $n$，但 $\mathbf{y}$ 位于 $C$ 的列空间中。
步骤 3/6
目标：分析二次型在子空间上的限制
由于 $\mathbf{y} = C\mathbf{x}$，$\mathbf{y}$ 属于 $C$ 的列空间 $V = \operatorname{Im}(C)$，维数 $\leq n$。因此 $f$ 是 $\mathbb{R}^{p+q}$ 上二次型 $g(\mathbf{y}) = y_1^2+\cdots+y_p^2 - y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2$ 在子空间 $V$ 上的限制。
公式：$g(\mathbf{y}) = y_1^2+\cdots+y_p^2 - y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2$
提示：子空间 $V$ 的维数不超过 $n$，但可能小于 $p+q$。
步骤 4/6
目标：应用惯性指数定理
二次型 $g$ 的正惯性指数为 $p$，负惯性指数为 $q$。由惯性指数定理，限制在子空间上的二次型的正惯性指数不超过原二次型的正惯性指数，负惯性指数不超过原二次型的负惯性指数。因此 $f$ 的正惯性指数 $\leq p$，负惯性指数 $\leq q$。
公式：惯性指数定理：子空间上二次型的惯性指数不超过原二次型的对应惯性指数。
提示：注意惯性指数定理的适用条件：子空间是实数域上的线性子空间。
步骤 5/6
目标：用反证法或直接论证给出严格证明
设 $f$ 的正惯性指数为 $r$，负惯性指数为 $s$。则存在可逆线性变换 $\mathbf{z} = P\mathbf{x}$ 使得 $f = z_1^2+\cdots+z_r^2 - z_{r+1}^2-\cdots-z_{r+s}^2$。由于 $f$ 可表示为 $p$ 个平方和减去 $q$ 个平方和，由惯性定理，$r \leq p$，$s \leq q$。
公式：$f = z_1^2+\cdots+z_r^2 - z_{r+1}^2-\cdots-z_{r+s}^2$
提示：惯性定理保证标准形中正平方项个数和负平方项个数是唯一的。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，实二次型 $f$ 的正惯性指数 $\leq p$，负惯性指数 $\leq q$。
提示：注意结论的适用范围：$L_i$ 是任意实系数线性函数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。