华南理工大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．（20分）设 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的线性子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} W_{1}<\operatorname{dim} W_{2}$ ，证明：$\displaystyle W_{2}$ 中必有一个非零向量正交于 $\displaystyle W_{1}$ 中的所有向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定维数并引入正交补
设 $\dim W_1 = r$，$\dim W_2 = s$，且 $r < s$。考虑 $W_1$ 的正交补 $W_1^\perp$，其维数为 $\dim W_1^\perp = n - r$。
公式：若 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$U$ 是子空间，则 $\dim U + \dim U^\perp = n$。
提示：注意正交补的定义：$W_1^\perp = \{v \in V \mid \langle v, w \rangle = 0, \forall w \in W_1\}$。
步骤 2/5
目标：计算维数关系并应用维数公式
由于 $r < s$，有 $s + (n - r) > n$。考虑子空间 $W_2$ 与 $W_1^\perp$ 的交集，由维数公式：$\dim(W_2 \cap W_1^\perp) = \dim W_2 + \dim W_1^\perp - \dim(W_2 + W_1^\perp)$。因为 $W_2 + W_1^\perp \subseteq V$，所以 $\dim(W_2 + W_1^\perp) \leq n$，从而 $\dim(W_2 \cap W_1^\perp) \geq s + (n - r) - n = s - r > 0$。
公式：维数公式：$\dim(U \cap W) = \dim U + \dim W - \dim(U+W)$。
提示：注意 $W_2 + W_1^\perp$ 的维数不超过 $n$，因此不等式方向要小心。
步骤 3/5
目标：得出交集非零
由 $\dim(W_2 \cap W_1^\perp) > 0$ 可知，$W_2 \cap W_1^\perp$ 中存在非零向量。取非零向量 $\alpha \in W_2 \cap W_1^\perp$。
提示：零维子空间只含零向量，正维数则必有非零向量。
步骤 4/5
目标：验证向量满足条件
由于 $\alpha \in W_2$，且 $\alpha \in W_1^\perp$，根据正交补的定义，$\alpha$ 与 $W_1$ 中所有向量正交。因此 $\alpha$ 是 $W_2$ 中非零向量，且正交于 $W_1$ 中的所有向量。
提示：注意正交补的定义：$\alpha \in W_1^\perp$ 意味着对任意 $w \in W_1$，$\langle \alpha, w \rangle = 0$。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，$W_2$ 中必有一个非零向量正交于 $W_1$ 中的所有向量。命题得证。
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