南京信息工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $\displaystyle A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知 $A$ 是6阶方阵，$|A|=0$，且伴随矩阵 $A^*$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}\neq 0$。
提示：注意 $A_{21}$ 是代数余子式，不是余子式。
步骤 2/6
目标：由行列式为零推断秩的范围
因为 $|A|=0$，所以 $A$ 不是满秩矩阵，即 $r(A)<6$。
提示：满秩矩阵的行列式非零。
步骤 3/6
目标：利用非零代数余子式推断伴随矩阵非零
由于 $A_{21}=\frac{3}{4}\neq 0$，而 $A_{21}$ 是 $A^*$ 的一个元素，所以 $A^*\neq 0$。
提示：伴随矩阵的元素是代数余子式，非零元素意味着伴随矩阵非零。
步骤 4/6
目标：应用秩的关系定理
对于 $n$ 阶方阵 $A$，有定理：若 $r(A)\leq n-2$，则 $A^*=0$；若 $r(A)=n-1$，则 $r(A^*)=1$；若 $r(A)=n$，则 $r(A^*)=n$。这里 $n=6$。
提示：注意定理的条件：当 $r(A) \leq n-2$ 时，所有 $n-1$ 阶子式为零，故 $A^*=0$。
步骤 5/6
目标：由伴随矩阵非零推断秩的下界
因为 $A^*\neq 0$，所以 $r(A)$ 不能小于等于 $4$（即 $n-2$），否则 $A^*=0$。因此 $r(A)\geq 5$。
提示：注意 $n=6$，$n-2=4$。
步骤 6/6
目标：结合秩的上界和下界得出最终秩
由第一步知 $r(A)<6$，由第五步知 $r(A)\geq 5$，所以 $r(A)=5$。
提示：秩是整数，因此只能是5。
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