📝 南京信息工程大学 2022年高等代数真题
第0题
1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $\displaystyle A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．
第0题
2．设 $A=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \beta\right), B=\left(\alpha_{1}, a_{2}, a_{3}, r\right)$ 都是 4 阶方阵，$|A|=-2,|B|=1$ ，则行列式 $|A+B|=$ $\_\_\_\_$ ．
第0题
3．设实矩阵 $A=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & a\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}4 & b \\ 3 & 1\end{array}\right)$ 合同，则 $a, b$ 满足的条件分别是 $\_\_\_\_$和 $\_\_\_\_$ ．
第0题
4．$a, b$ 满足条件 $\_\_\_\_$时，$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 b x_{2} x_{3}$ 正定。
第0题
5．已知实系数多项式 $f(x)$ 有一个根是 $3+i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $f(x)$ 一定有另一个根 $\_\_\_\_$ ．
第0题
1．设 $A_{i j}(i, j=1,2,3,4)$ 是行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ -3 & 9 & 27 & 81 \\ 4 & 16 & 64 & 256\end{array}\right|$ 中第 $i$ 行。第 $j$ 列元素的代数余子式，
计算 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$ 与 $A_{14}+A_{24}+A_{34}+A_{44}$ 。
计算 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$ 与 $A_{14}+A_{24}+A_{34}+A_{44}$ 。
第0题
2．求数域 $p$ 上齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=0 \\ x_{1}-x_{2}+x_{3}-3 x_{4}=0 \\ x_{1}-x_{2}-2 x_{3}+3 x_{4}=0\end{array}\right.$ 的基础解系和一般解。（16分）
第0题
3．在有理数域上分解 $1+x^{3}+x^{4}+x^{7}$
第0题
4．设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维空间 $V$ 的一组基，线性变换 $f$ 在此基 $F$ 的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -2\end{array}\right)$
（1）求 $f$ 的核 $f^{-1}(0)$ 的一组基和维数。 （1）求 $f$ 的核 $f^{-1}(0)$ 的一组基和维数。
（2）求 $f$ 的值域 $f(v)$ 的一组基和维数。
（1）求 $f$ 的核 $f^{-1}(0)$ 的一组基和维数。 （1）求 $f$ 的核 $f^{-1}(0)$ 的一组基和维数。
（2）求 $f$ 的值域 $f(v)$ 的一组基和维数。
第0题
4．设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维空间 $V$ 的一组基，线性变换 $f$ 在此基 $F$ 的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -2\end{array}\right)$
（1）求 $f$ 的核 $f^{-1}(0)$ 的一组基和维数。
（2）求 $f$ 的值域 $f(V)$ 的一组基和维数。
（1）求 $f$ 的核 $f^{-1}(0)$ 的一组基和维数。
（2）求 $f$ 的值域 $f(V)$ 的一组基和维数。
第0题
5．设复数矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{array}\right)$ ．求 $A$ 的初等因子、不变因子和者尔当标准形。
第0题
1．设 $A 、 B$ 为 $n$ 阶矩阵，$E$ 是 $n$ 阶单位方阵
（1）若 $B$ 的列向量都是齐次线性方程组 $A X=0$ 的解，证明：$r(A)+r(B) \leq n$ 。（ 10 分）
（2）若 $A$ 满足等式 $A^{2}-4 A=5 E$ ，证明 $r(A-5 E)+r(A+E)=n$
（1）若 $B$ 的列向量都是齐次线性方程组 $A X=0$ 的解，证明：$r(A)+r(B) \leq n$ 。（ 10 分）
（2）若 $A$ 满足等式 $A^{2}-4 A=5 E$ ，证明 $r(A-5 E)+r(A+E)=n$
第0题
2．设 $\varphi$ 是 $n$ 维欧几里得空间 $V$ 的一个第二类正交变换，且 $\varphi$ 在 $V$ 的一组标准正交基下矩阵为 $A$ ，
证明：行列式 $|A+E|=0$ ，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位阵。
证明：行列式 $|A+E|=0$ ，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位阵。
第0题
3．设 $\sigma$ 是实数域 $R$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，试证：
（1）若 $\alpha \in V$ 满足 $\sigma^{k-1}(\alpha) \neq 0, \sigma^{k}(\alpha)=0$ ，那么 $\alpha, \sigma(\alpha), \cdots, \sigma^{k-1}(\alpha)$ 线性无关。
（2）$\sigma^{n} V=\sigma^{n+1} V$ ．
（1）若 $\alpha \in V$ 满足 $\sigma^{k-1}(\alpha) \neq 0, \sigma^{k}(\alpha)=0$ ，那么 $\alpha, \sigma(\alpha), \cdots, \sigma^{k-1}(\alpha)$ 线性无关。
（2）$\sigma^{n} V=\sigma^{n+1} V$ ．