南京信息工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
5．设复数矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{array}\right)$ ．求 $A$ 的初等因子、不变因子和者尔当标准形。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算特征多项式
计算 $\det(\lambda I - A)$，其中 $A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5 \end{pmatrix}$。
$$\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda-3 & 0 & -8 \\ -3 & \lambda+1 & -6 \\ 2 & 0 & \lambda+5 \end{pmatrix}$$
按第二列展开（第二列只有一个非零元 $\lambda+1$）：
$$\det(\lambda I - A) = (\lambda+1) \cdot \det\begin{pmatrix} \lambda-3 & -8 \\ 2 & \lambda+5 \end{pmatrix} = (\lambda+1)[(\lambda-3)(\lambda+5) + 16]$$
计算：$(\lambda-3)(\lambda+5) = \lambda^2 + 2\lambda -15$，加16得 $\lambda^2 + 2\lambda +1 = (\lambda+1)^2$。
所以特征多项式为 $f(\lambda) = (\lambda+1)^3$。
公式：特征多项式：$\det(\lambda I - A)$
提示：展开时选择含零较多的行或列简化计算，注意符号。
步骤 2/7
目标：确定特征值和代数重数
由特征多项式 $f(\lambda) = (\lambda+1)^3$ 得特征值 $\lambda = -1$，代数重数为3。
提示：特征多项式是三次，只有一个特征值-1。
步骤 3/7
目标：计算几何重数
计算 $A+I$ 的秩：
$$A+I = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 8 \\ 3 & 0 & 6 \\ -2 & 0 & -4 \end{pmatrix}$$
行变换：第一行除以4得 $(1,0,2)$；第二行减3倍第一行得 $(0,0,0)$；第三行加2倍第一行得 $(0,0,0)$。秩为1。
零度 = 3 - 秩 = 2，即几何重数为2。
公式：几何重数 = $\dim\ker(A-\lambda I) = n - \operatorname{rank}(A-\lambda I)$
提示：行变换要正确，注意零空间维数等于列数减秩。
步骤 4/7
目标：确定最小多项式
由于代数重数3，几何重数2，Jordan块为一大一小，最小多项式次数为2。计算 $(A+I)^2$：
$$(A+I)^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 8 \\ 3 & 0 & 6 \\ -2 & 0 & -4 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
所以 $(A+I)^2=0$，最小多项式为 $m(\lambda) = (\lambda+1)^2$。
公式：最小多项式是使得 $m(A)=0$ 的次数最低的首一多项式
提示：验证 $(A+I)^2=0$ 确保最小多项式次数为2。
步骤 5/7
目标：求不变因子
特征多项式为 $(\lambda+1)^3$，最小多项式为 $(\lambda+1)^2$。不变因子满足 $d_1(\lambda) | d_2(\lambda) | d_3(\lambda)$ 且乘积为特征多项式。
由于最小多项式是最后一个不变因子，故 $d_3(\lambda) = (\lambda+1)^2$。
剩余因子乘积为 $\lambda+1$，且 $d_2(\lambda)$ 整除 $d_3(\lambda)$，故 $d_2(\lambda) = \lambda+1$，$d_1(\lambda)=1$。
因此不变因子为 $1,\ \lambda+1,\ (\lambda+1)^2$。
公式：不变因子满足 $d_1(\lambda) \cdots d_n(\lambda) = \det(\lambda I - A)$ 且 $d_i | d_{i+1}$
提示：注意不变因子是首一多项式，且最后一个是最小多项式。
步骤 6/7
目标：求初等因子
将不变因子分解为一次因式的幂：
$d_1(\lambda)=1$ 无因子；
$d_2(\lambda)=\lambda+1$ 对应初等因子 $\lambda+1$；
$d_3(\lambda)=(\lambda+1)^2$ 对应初等因子 $(\lambda+1)^2$。
所以初等因子为 $\lambda+1,\ (\lambda+1)^2$。
公式：初等因子是不变因子分解为不可约因式幂的全体
提示：初等因子要列出所有因式幂，重复的都要列出。
步骤 7/7
目标：构造Jordan标准形
初等因子 $\lambda+1$ 对应1阶Jordan块 $J_1(-1)$，$(\lambda+1)^2$ 对应2阶Jordan块 $J_2(-1)$。
Jordan标准形为：
$$J = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$
公式：Jordan块：$J_k(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & \lambda & 1 \\ & & & \lambda \end{pmatrix}_{k \times k}$
提示：注意Jordan块顺序可以调换，但通常按阶数从大到小或从小到大排列。
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