南京信息工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
5．已知实系数多项式 $f(x)$ 有一个根是 $3+i$ ，其中 $i$ 是虚数单位，则 $f(x)$ 一定有另一个根 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解实系数多项式根的性质
对于实系数多项式 $f(x)$，如果有一个复数根 $a+bi$（其中 $a,b$ 为实数，$b \neq 0$），那么它的共轭复数 $a-bi$ 也是 $f(x)$ 的根。这是因为多项式系数为实数时，共轭根成对出现。
提示：注意：此性质仅适用于实系数多项式，对于复系数多项式不一定成立。
步骤 2/4
目标：识别已知根的形式
已知 $f(x)$ 有一个根是 $3+i$，这是一个非实复数，因为虚部 $1 \neq 0$。
提示：确认根是否为非实复数：若虚部为0，则是实根，不适用共轭性质。
步骤 3/4
目标：写出共轭根
根据性质，$3+i$ 的共轭复数是 $3-i$。因此 $f(x)$ 一定有另一个根 $3-i$。
提示：共轭复数只需将虚部符号取反，实部不变。
步骤 4/4
目标：总结答案
所以，$f(x)$ 一定有另一个根 $3-i$。
提示：答案应写为 $3-i$，注意不要遗漏负号。
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