南京信息工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $\varphi$ 是 $n$ 维欧几里得空间 $V$ 的一个第二类正交变换，且 $\varphi$ 在 $V$ 的一组标准正交基下矩阵为 $A$ ，
证明：行列式 $|A+E|=0$ ，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件
设 $\varphi$ 是 $n$ 维欧几里得空间 $V$ 的一个第二类正交变换，则 $\varphi$ 在标准正交基下的矩阵 $A$ 是正交矩阵且行列式 $\det(A) = -1$。
公式：$A^T A = E$, $\det(A) = -1$
提示：注意第二类正交变换的行列式为 -1，区别于第一类（行列式为 1）。
步骤 2/5
目标：将待证表达式变形
要证明 $|A+E|=0$，即 $\det(A+E)=0$。由于 $A$ 是正交矩阵，有 $A^T A = E$，因此 $E = A^T A$。于是 $A+E = A + A^T A = A(E + A^T)$。
公式：$A+E = A(E + A^T)$
提示：注意矩阵乘法顺序，$A$ 左乘 $(E+A^T)$。
步骤 3/5
目标：计算行列式
对等式两边取行列式：$\det(A+E) = \det(A) \det(E + A^T)$。因为 $\det(A) = -1$，所以 $\det(A+E) = -\det(E + A^T)$。
公式：$\det(AB) = \det(A)\det(B)$
提示：行列式乘法性质，注意 $\det(A)=-1$。
步骤 4/5
目标：利用转置性质
由于行列式与转置的关系：$\det(E + A^T) = \det((E + A)^T) = \det(E + A)$。因此 $\det(A+E) = -\det(E+A)$。
公式：$\det(M^T) = \det(M)$
提示：注意 $E+A$ 的转置等于 $E+A^T$，因为 $E$ 是对称的。
步骤 5/5
目标：得到方程并求解
由 $\det(A+E) = -\det(E+A)$ 得 $\det(A+E) = -\det(A+E)$，移项得 $2\det(A+E)=0$，所以 $\det(A+E)=0$。
提示：注意 $\det(E+A) = \det(A+E)$，因为加法可交换。
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