南京信息工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维空间 $V$ 的一组基，线性变换 $f$ 在此基 $F$ 的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -2\end{array}\right)$
（1）求 $f$ 的核 $f^{-1}(0)$ 的一组基和维数。
（2）求 $f$ 的值域 $f(V)$ 的一组基和维数。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解核与值域的定义
核 $f^{-1}(0)$ 是所有满足 $f(\xi)=0$ 的向量 $\xi$ 的集合，在基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4$ 下，$\xi$ 的坐标向量 $\boldsymbol{x}$ 满足 $A\boldsymbol{x}=0$。值域 $f(V)$ 是所有像 $f(\xi)$ 的集合，由 $A$ 的列向量张成。
提示：注意核是解空间，值域是列空间。
步骤 2/7
目标：求核：解齐次线性方程组
解 $A\boldsymbol{x}=0$，其中 $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0\\0 & 1 & 0 & 2\\-1 & 0 & -2 & 0\\0 & -1 & 0 & -2\end{pmatrix}$。对 $A$ 进行行变换：$r_3+r_1$ 得 $\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0\\0 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & -1 & 0 & -2\end{pmatrix}$，再 $r_4+r_2$ 得 $\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 & 0\\0 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$。
提示：行变换时注意符号，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：确定基础解系
矩阵秩为2，基础解系含 $4-2=2$ 个向量。方程组等价于 $x_1+2x_3=0$，$x_2+2x_4=0$。取自由变量 $x_3=1,x_4=0$ 得 $\xi_1=(-2,0,1,0)^T$；取 $x_3=0,x_4=1$ 得 $\xi_2=(0,-2,0,1)^T$。
提示：自由变量取值要线性无关，通常取标准基向量。
步骤 4/7
目标：写出核的一组基和维数
核的一组基为 $\alpha_1=-2\varepsilon_1+\varepsilon_3$，$\alpha_2=-2\varepsilon_2+\varepsilon_4$，维数为2。
提示：基向量要用题目给定的基表示。
步骤 5/7
目标：求值域：分析列向量
值域由 $A$ 的列向量张成。$A$ 的列向量为：$\alpha_1=(1,0,-1,0)^T$，$\alpha_2=(0,1,0,-1)^T$，$\alpha_3=(2,0,-2,0)^T$，$\alpha_4=(0,2,0,-2)^T$。
提示：列向量是基下坐标，注意顺序。
步骤 6/7
目标：找出极大无关组
观察发现 $\alpha_3=2\alpha_1$，$\alpha_4=2\alpha_2$，故 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关，且所有列向量可由它们线性表示，因此极大无关组为 $\alpha_1,\alpha_2$。
提示：检查线性关系时，注意倍数关系。
步骤 7/7
目标：写出值域的一组基和维数
值域的一组基为 $\beta_1=\varepsilon_1-\varepsilon_3$，$\beta_2=\varepsilon_2-\varepsilon_4$，维数为2。
提示：基向量要写成基的线性组合。
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