南京信息工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A 、 B$ 为 $n$ 阶矩阵，$E$ 是 $n$ 阶单位方阵
（1）若 $B$ 的列向量都是齐次线性方程组 $A X=0$ 的解，证明：$r(A)+r(B) \leq n$ 。（ 10 分）
（2）若 $A$ 满足等式 $A^{2}-4 A=5 E$ ，证明 $r(A-5 E)+r(A+E)=n$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意与已知条件
已知 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
(1) 条件：$B$ 的列向量都是齐次线性方程组 $AX=0$ 的解，即 $AB=0$。
(2) 条件：$A^2-4A=5E$，即 $A^2-4A-5E=0$，可因式分解为 $(A-5E)(A+E)=0$。
提示：注意矩阵乘法不满足交换律，但此处因式分解成立因为 $A$ 与 $E$ 可交换。
步骤 2/7
目标：证明 (1) 中的包含关系
设 $B$ 的列向量为 $\beta_1,\dots,\beta_n$。由条件 $A\beta_i=0$ 知每个列向量属于 $\ker(A)$，因此 $\operatorname{Col}(B) \subseteq \ker(A)$。
公式：$\operatorname{Col}(B) \subseteq \ker(A)$
提示：注意列空间与核空间的包含关系。
步骤 3/7
目标：应用秩-零化度定理
由秩-零化度定理：$\dim\ker(A) = n - r(A)$。又因为 $\operatorname{Col}(B) \subseteq \ker(A)$，所以 $r(B) = \dim\operatorname{Col}(B) \leq \dim\ker(A) = n - r(A)$。移项得 $r(A)+r(B) \leq n$。
公式：$\dim\ker(A) = n - r(A)$
提示：秩-零化度定理适用于线性变换，这里 $A$ 视为 $\mathbb{R}^n$ 上的线性变换。
步骤 4/7
目标：证明 (2) 中的乘积为零
由 $A^2-4A=5E$ 得 $A^2-4A-5E=0$，即 $(A-5E)(A+E)=0$。令 $M=A-5E$，$N=A+E$，则 $MN=0$。
公式：$(A-5E)(A+E)=0$
提示：注意因式分解的正确性：$(A-5E)(A+E)=A^2-4A-5E$。
步骤 5/7
目标：应用 Sylvester 不等式得到上界
由 $MN=0$ 及 Sylvester 不等式：$r(M)+r(N) \leq n$。
公式：$r(M)+r(N) \leq n$
提示：Sylvester 不等式：$r(M)+r(N) \leq n + r(MN)$，当 $MN=0$ 时 $r(MN)=0$，故 $r(M)+r(N) \leq n$。
步骤 6/7
目标：推导下界
注意到 $M-N = (A-5E)-(A+E) = -6E$，即 $N = M + 6E$。考虑矩阵 $\begin{pmatrix} M & 0 \\ 0 & N \end{pmatrix}$，通过初等变换：将第二列加到第一列，再将第二行减去第一行等，可得 $r(M)+r(N) \geq r(M+N) = r(-6E) = n$。
公式：$r(M)+r(N) \geq r(M+N)$
提示：这里用到了秩不等式 $r(X)+r(Y) \geq r(X+Y)$，但需注意该不等式并不总是成立，此处通过分块矩阵的初等变换严格证明。
步骤 7/7
目标：综合上下界得出结论
由 $r(M)+r(N) \leq n$ 和 $r(M)+r(N) \geq n$ 得 $r(M)+r(N)=n$，即 $r(A-5E)+r(A+E)=n$。
提示：注意等号成立的条件。
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