南京信息工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
4．$a, b$ 满足条件 $\_\_\_\_$时，$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 b x_{2} x_{3}$ 正定。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2a x_1x_2+2b x_2x_3$ 对应的对称矩阵为 $A=\begin{pmatrix} 1 & a & 0 \\ a & 1 & b \\ 0 & b & 1 \end{pmatrix}$。注意交叉项系数 $2a$ 和 $2b$ 要平分到矩阵的对称位置。
公式：二次型 $f(x)=x^TAx$，其中 $A$ 对称
提示：确保矩阵对称，且 $x_ix_j$ 系数 $2a_{ij}$ 对应 $A_{ij}=A_{ji}=a_{ij}$
步骤 2/6
目标：正定性的充要条件
实二次型正定的充要条件是矩阵的各阶顺序主子式大于0。即 $\Delta_1>0$，$\Delta_2>0$，$\Delta_3>0$。
公式：顺序主子式 $\Delta_k = \det(A_{1:k,1:k})$
提示：注意是顺序主子式，不是任意主子式
步骤 3/6
目标：计算一阶顺序主子式
一阶顺序主子式 $\Delta_1 = 1 > 0$，恒成立。
提示：一阶主子式就是 $a_{11}$
步骤 4/6
目标：计算二阶顺序主子式
二阶顺序主子式 $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & a \\ a & 1 \end{vmatrix} = 1 - a^2 > 0$，解得 $|a| < 1$。
公式：行列式 $\begin{vmatrix} p & q \\ r & s \end{vmatrix} = ps - qr$
提示：注意行列式计算时不要漏掉负号
步骤 5/6
目标：计算三阶顺序主子式
三阶顺序主子式 $\Delta_3 = \det A = \begin{vmatrix} 1 & a & 0 \\ a & 1 & b \\ 0 & b & 1 \end{vmatrix}$。按第一行展开：$1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & b \\ b & 1 \end{vmatrix} - a \cdot \begin{vmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 0 = (1 - b^2) - a(a \cdot 1 - b \cdot 0) = 1 - b^2 - a^2 > 0$，即 $a^2 + b^2 < 1$。
公式：行列式展开公式
提示：展开时注意符号：$(-1)^{i+j}$，这里第一行第一列符号为正，第一行第二列符号为负
步骤 6/6
目标：合并条件并简化
由 $\Delta_2>0$ 得 $|a|<1$，由 $\Delta_3>0$ 得 $a^2+b^2<1$。注意 $a^2+b^2<1$ 自动蕴含 $|a|<1$，因此最终条件为 $a^2+b^2<1$。
提示：检查条件是否冗余，通常取最简形式
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