南京信息工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A_{i j}(i, j=1,2,3,4)$ 是行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ -3 & 9 & 27 & 81 \\ 4 & 16 & 64 & 256\end{array}\right|$ 中第 $i$ 行。第 $j$ 列元素的代数余子式，
计算 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$ 与 $A_{14}+A_{24}+A_{34}+A_{44}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：识别行列式类型
给定行列式 $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ -3 & 9 & 27 & 81 \\ 4 & 16 & 64 & 256 \end{vmatrix}$。观察各行元素，发现第 $i$ 行元素为 $x_i^{j-1}$，其中 $x_1=1, x_2=2, x_3=-3, x_4=4$，因此 $D$ 是范德蒙行列式。
公式：范德蒙行列式：$\prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i)$
提示：注意范德蒙行列式的结构：第 $i$ 行元素为 $x_i^{0}, x_i^{1}, \dots, x_i^{n-1}$。
步骤 2/8
目标：计算 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$ 的思路
代数余子式 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$。要求 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$，即第四行代数余子式之和。考虑构造一个新行列式 $D_1$，将 $D$ 的第四行替换为全1，则按第四行展开 $D_1$ 得 $1 \cdot A_{41} + 1 \cdot A_{42} + 1 \cdot A_{43} + 1 \cdot A_{44} = A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}$。
公式：行列式按行展开：$D = \sum_{j=1}^n a_{ij} A_{ij}$
提示：注意：替换后的行列式 $D_1$ 中，代数余子式 $A_{4j}$ 与原行列式相同，因为余子式只依赖于去掉第4行和第j列后的子式。
步骤 3/8
目标：计算 $D_1$ 的值
构造 $D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ -3 & 9 & 27 & 81 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$。由于第四行与第一行完全相同，根据行列式性质，两行成比例（比例系数为1）时行列式为0，故 $D_1 = 0$。因此 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44} = 0$。
公式：行列式性质：若两行相同，则行列式为0。
提示：注意：替换后第四行与第一行元素完全相同，直接得到行列式为0，无需计算。
步骤 4/8
目标：计算 $A_{14}+A_{24}+A_{34}+A_{44}$ 的思路
类似地，要求 $A_{14}+A_{24}+A_{34}+A_{44}$，即第四列代数余子式之和。构造行列式 $D_2$，将 $D$ 的第四列替换为全1，则按第四列展开 $D_2$ 得 $1 \cdot A_{14} + 1 \cdot A_{24} + 1 \cdot A_{34} + 1 \cdot A_{44} = A_{14}+A_{24}+A_{34}+A_{44}$。
公式：行列式按列展开：$D = \sum_{i=1}^n a_{ij} A_{ij}$
提示：注意：替换后第四列元素全为1，但原行列式第四列元素为 $1,16,81,256$，因此 $D_2$ 不是范德蒙行列式。
步骤 5/8
目标：计算 $D_2$ 的值（方法一：列变换）
构造 $D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 1 \\ -3 & 9 & 27 & 1 \\ 4 & 16 & 64 & 1 \end{vmatrix}$。将第四列减去第一列，得 $D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 8 & -1 \\ -3 & 9 & 27 & 4 \\ 4 & 16 & 64 & -3 \end{vmatrix}$。然后按第四列展开：$D_2 = 0 \cdot C_{14} + (-1) \cdot (-1)^{2+4} M_{24} + 4 \cdot (-1)^{3+4} M_{34} + (-3) \cdot (-1)^{4+4} M_{44}$，其中 $M_{ij}$ 是余子式。
公式：行列式按列展开公式，以及符号 $(-1)^{i+j}$。
提示：注意符号计算：$(-1)^{2+4}=1$，$(-1)^{3+4}=-1$，$(-1)^{4+4}=1$。
步骤 6/8
目标：计算余子式 $M_{24}, M_{34}, M_{44}$
计算 $M_{24} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -3 & 9 & 27 \\ 4 & 16 & 64 \end{vmatrix}$，这是范德蒙行列式，$x_1=1, x_2=-3, x_3=4$，值为 $(-3-1)(4-1)(4+3) = (-4)\cdot3\cdot7 = -84$。
$M_{34} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 \\ 4 & 16 & 64 \end{vmatrix}$，范德蒙，$x_1=1, x_2=2, x_3=4$，值为 $(2-1)(4-1)(4-2)=1\cdot3\cdot2=6$。
$M_{44} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 \\ -3 & 9 & 27 \end{vmatrix}$，范德蒙，$x_1=1, x_2=2, x_3=-3$，值为 $(2-1)(-3-1)(-3-2)=1\cdot(-4)\cdot(-5)=20$。
公式：三阶范德蒙行列式公式：$\prod_{1 \le i < j \le 3} (x_j - x_i)$
提示：注意范德蒙行列式中 $x_i$ 的顺序，以及乘积中差值的符号。
步骤 7/8
目标：代入计算 $D_2$
由步骤5和6，$D_2 = -M_{24} -4M_{34} -3M_{44} = -(-84) -4\cdot6 -3\cdot20 = 84 -24 -60 = 0$。因此 $A_{14}+A_{24}+A_{34}+A_{44} = D_2 = 0$。
公式：无
提示：注意代入时符号不要出错。
步骤 8/8
目标：给出最终答案
综上所述，$A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44} = 0$，$A_{14}+A_{24}+A_{34}+A_{44} = 0$。
公式：无
提示：注意两个结果均为0。
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