南京信息工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $A=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \beta\right), B=\left(\alpha_{1}, a_{2}, a_{3}, r\right)$ 都是 4 阶方阵，$|A|=-2,|B|=1$ ，则行列式 $|A+B|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出A+B的表达式
已知 $A = (a_1, a_2, a_3, \beta)$, $B = (\alpha_1, a_2, a_3, r)$，则 $A+B = (a_1+\alpha_1, 2a_2, 2a_3, \beta+r)$。
提示：注意对应列相加，第二、三列系数为2。
步骤 2/6
目标：提取公因子
由行列式的多重线性性质，从第二列和第三列分别提取因子2：
$$|A+B| = 2 \cdot 2 \cdot |a_1+\alpha_1, a_2, a_3, \beta+r| = 4 |a_1+\alpha_1, a_2, a_3, \beta+r|.$$
公式：行列式提取公因子：$|k\alpha, \beta, \gamma, \delta| = k|\alpha, \beta, \gamma, \delta|$
提示：注意每列只能提取一个公因子，不要遗漏。
步骤 3/6
目标：拆分最后一列
将最后一列拆分为两个列向量的和：
$$|a_1+\alpha_1, a_2, a_3, \beta+r| = |a_1+\alpha_1, a_2, a_3, \beta| + |a_1+\alpha_1, a_2, a_3, r|.$$
公式：行列式拆分性质：$|\cdots, \beta+\gamma, \cdots| = |\cdots, \beta, \cdots| + |\cdots, \gamma, \cdots|$
提示：拆分时保持其他列不变。
步骤 4/6
目标：拆分第一列
对两个行列式分别拆分第一列：
$$|a_1+\alpha_1, a_2, a_3, \beta| = |a_1, a_2, a_3, \beta| + |\alpha_1, a_2, a_3, \beta|,$$
$$|a_1+\alpha_1, a_2, a_3, r| = |a_1, a_2, a_3, r| + |\alpha_1, a_2, a_3, r|.$$
公式：同上拆分性质
提示：注意符号不变，因为加法。
步骤 5/6
目标：代入已知行列式
由已知 $|A| = |a_1, a_2, a_3, \beta| = -2$，$|B| = |\alpha_1, a_2, a_3, r| = 1$。但 $|\alpha_1, a_2, a_3, \beta|$ 和 $|a_1, a_2, a_3, r|$ 未知。然而，注意到题目可能隐含 $\alpha_1 = a_1$？否则无法求解。常见题型中 $B$ 的第一列应为 $a_1$，即 $B = (a_1, a_2, a_3, r)$。此时 $\alpha_1 = a_1$，则 $|\alpha_1, a_2, a_3, \beta| = |a_1, a_2, a_3, \beta| = -2$，$|a_1, a_2, a_3, r| = |B| = 1$。
提示：注意题目条件是否完整，若 $\alpha_1 \neq a_1$ 则无法计算。
步骤 6/6
目标：计算最终结果
代入得：
$$|A+B| = 4[(-2) + (-2) + 1 + 1] = 4 \times (-2) = -8.$$
或者直接：
$$|A+B| = 8(|A|+|B|) = 8(-2+1) = -8.$$
公式：若 $A=(a_1,a_2,a_3,\beta)$, $B=(a_1,a_2,a_3,r)$，则 $|A+B|=8(|A|+|B|)$
提示：注意系数8来自三个2相乘（第二、三列各2，第一列合并后为2倍？实际推导中为4倍再乘2？正确计算为8倍）。
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