南京信息工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
2．求数域 $p$ 上齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=0 \\ x_{1}-x_{2}+x_{3}-3 x_{4}=0 \\ x_{1}-x_{2}-2 x_{3}+3 x_{4}=0\end{array}\right.$ 的基础解系和一般解。（16分）
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出系数矩阵
将方程组写成矩阵形式，系数矩阵为
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}. \]
提示：注意系数矩阵的行对应方程，列对应变量，不要写错顺序。
步骤 2/6
目标：初等行变换化为行阶梯形
对矩阵进行初等行变换：
\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & -2 & 3 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - R_1, R_3 - R_1} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -4 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{\frac{1}{2}R_2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 + R_2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
提示：行变换时注意符号，避免计算错误。
步骤 3/6
目标：化为行最简形
继续行变换得到行最简形：
\[ \xrightarrow{R_1 + R_2} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
提示：确保主元为1，且主元所在列的其他元素为0。
步骤 4/6
目标：写出等价方程组
行最简形对应的方程组为
\[ \begin{cases} x_1 - x_2 - x_4 = 0, \\ x_3 - 2x_4 = 0. \end{cases} \]
即
\[ \begin{cases} x_1 = x_2 + x_4, \\ x_3 = 2x_4. \end{cases} \]
提示：注意自由变量是主元列对应的变量之外的变量，这里$x_2$和$x_4$是自由变量。
步骤 5/6
目标：确定自由变量并求基础解系
自由变量为$x_2, x_4$。令$(x_2, x_4) = (1,0)$，得$x_1 = 1, x_3 = 0$，解向量$\xi_1 = (1,1,0,0)^T$；令$(x_2, x_4) = (0,1)$，得$x_1 = 1, x_3 = 2$，解向量$\xi_2 = (1,0,2,1)^T$。故基础解系为$\xi_1, \xi_2$。
提示：自由变量的赋值应线性无关，通常取标准单位向量。
步骤 6/6
目标：写出一般解
一般解为$k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2$，其中$k_1, k_2 \in P$，即
\[ x = k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}. \]
提示：一般解是基础解系的线性组合，系数为任意常数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。