南京信息工程大学 2022年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维空间 $V$ 的一组基，线性变换 $f$ 在此基 $F$ 的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -2\end{array}\right)$
（1）求 $f$ 的核 $f^{-1}(0)$ 的一组基和维数。 （1）求 $f$ 的核 $f^{-1}(0)$ 的一组基和维数。
（2）求 $f$ 的值域 $f(v)$ 的一组基和维数。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解核与值域的概念
核 $f^{-1}(0)$ 是所有满足 $f(\xi)=0$ 的向量 $\xi$ 的集合。在给定基下，$\xi$ 的坐标向量 $x$ 满足 $Ax=0$。值域 $f(V)$ 是所有像 $f(\xi)$ 的集合，由基像生成，即 $A$ 的列空间。
公式：核：$\ker f = \{ \xi \in V \mid f(\xi)=0 \}$；值域：$\operatorname{Im} f = \{ f(\xi) \mid \xi \in V \}$
提示：注意核是零空间，值域是列空间。
步骤 2/5
目标：写出矩阵并解齐次方程组求核
矩阵 $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$。解 $Ax=0$，对 $A$ 进行行变换：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3+R_1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_4+R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
秩为2，基础解系含 $4-2=2$ 个向量。
公式：行变换化简矩阵
提示：行变换时注意符号，避免计算错误。
步骤 3/5
目标：求解基础解系得到核的基
方程组化为：
$$\begin{cases} x_1 + 2x_3 = 0 \\ x_2 + 2x_4 = 0 \end{cases}$$
令自由变量 $x_3=1, x_4=0$，得 $x_1=-2, x_2=0$，解向量 $\alpha_1=(-2,0,1,0)^T$。
令 $x_3=0, x_4=1$，得 $x_1=0, x_2=-2$，解向量 $\alpha_2=(0,-2,0,1)^T$。
因此核的一组基为 $\xi_1 = -2\varepsilon_1 + \varepsilon_3$，$\xi_2 = -2\varepsilon_2 + \varepsilon_4$，维数为2。
公式：基础解系：$\alpha_1, \alpha_2$
提示：自由变量赋值时通常取单位向量，注意对应关系。
步骤 4/5
目标：求值域的基：提取列向量
值域由 $f$ 在基下的像生成，即 $A$ 的列向量张成的空间。$A$ 的列向量为：
$$\beta_1=(1,0,-1,0)^T,\ \beta_2=(0,1,0,-1)^T,\ \beta_3=(2,0,-2,0)^T,\ \beta_4=(0,2,0,-2)^T$$
观察发现 $\beta_3=2\beta_1$，$\beta_4=2\beta_2$，所以 $\beta_1,\beta_2$ 线性无关，构成极大无关组。
公式：列空间由线性无关的列向量生成
提示：注意检查线性相关性，避免遗漏。
步骤 5/5
目标：写出值域的一组基和维数
因此值域的一组基为 $f(\varepsilon_1)=\varepsilon_1-\varepsilon_3$，$f(\varepsilon_2)=\varepsilon_2-\varepsilon_4$，维数为2。
公式：基：$f(\varepsilon_1), f(\varepsilon_2)$
提示：基向量要写成原空间中的向量形式。
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