南京信息工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ a & \epsilon & 0 \\ b & c & \epsilon^{2}\end{array}\right]$ ，其中 $\displaystyle \epsilon=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ，求 $A^{2022}$
2 ．求 $(x+1)^{2}$ 除以 $x^{2022}-1$ 的余式
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定矩阵A的结构和性质
给定矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & \epsilon & 0 \\ b & c & \epsilon^2 \end{bmatrix}$，其中 $\epsilon = \frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ 是三次单位根，满足 $\epsilon^3 = 1$ 且 $1+\epsilon+\epsilon^2=0$。矩阵 $A$ 是下三角矩阵，对角元为 $1, \epsilon, \epsilon^2$。
公式：$\epsilon^3=1$, $1+\epsilon+\epsilon^2=0$
提示：注意 $\epsilon$ 是复数，但计算中只需利用其代数性质。
步骤 2/5
目标：计算A的平方
计算 $A^2$：
$$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & \epsilon & 0 \\ b & c & \epsilon^2 \end{bmatrix}^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a(1+\epsilon) & \epsilon^2 & 0 \\ b(1+\epsilon^2)+ac & -c & \epsilon \end{bmatrix}$$
其中利用了 $\epsilon+\epsilon^2 = -1$。
提示：矩阵乘法时注意顺序，下三角矩阵的幂仍为下三角。
步骤 3/5
目标：计算A的三次方
计算 $A^3 = A^2 \cdot A$：
$$A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a(1+\epsilon) & \epsilon^2 & 0 \\ b(1+\epsilon^2)+ac & -c & \epsilon \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & \epsilon & 0 \\ b & c & \epsilon^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$
因为 $(2,1)$ 元素为 $a(1+\epsilon+\epsilon^2)=0$，$(3,1)$ 元素为 $b(1+\epsilon+\epsilon^2)=0$，$(3,2)$ 元素为 $-c\epsilon + c\epsilon = 0$，对角元乘积为 $1$。
公式：$1+\epsilon+\epsilon^2=0$
提示：注意 $\epsilon^3=1$ 和 $\epsilon^4=\epsilon$。
步骤 4/5
目标：利用周期性求A的2022次幂
由 $A^3 = I$ 知 $A$ 的阶为3。计算 $2022 \div 3 = 674$ 余0，故 $A^{2022} = (A^3)^{674} = I^{674} = I$。
公式：$A^3 = I$
提示：指数运算时注意模3的余数。
步骤 5/5
目标：求多项式除法的余式
求 $(x+1)^2$ 除以 $x^{2022}-1$ 的余式。由于被除式次数为2，除式次数为2022，且 $2 < 2022$，所以商为0，余式为被除式本身，即 $(x+1)^2 = x^2+2x+1$。
提示：多项式除法中，若被除式次数小于除式，则余式即为被除式。
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