📝 南京信息工程大学 2023年高等代数真题

1．设 $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ a & \epsilon & 0 \\ b & c & \epsilon^{2}\end{array}\right]$ ，其中 $\displaystyle \epsilon=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$ ，求 $A^{2022}$
2 ．求 $(x+1)^{2}$ 除以 $x^{2022}-1$ 的余式

3．设 A 和 B 分别为 4 阶方阵，其中 $r(A)=3 r(B)=4$ ，求 $r\left(A^{*} B^{*}\right)$

4．（数据可能不对）已知 $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 5 & 4 & 3\end{array}\right]$ ，且 $B=(A-E)^{-1}(A+E)$ ，求 $(B+E)^{-1}$

5．已知 $|A-E|=|A-2 E|=|A+E|=2$ ，求 $|A+3 E|$

1．已知 $D_{n-1}=\left|\begin{array}{cccc}a_{1}^{n}-a_{1} & a_{1}^{n-1}-a_{1} & \ldots & a_{1}^{2}-a_{1} \\ a_{2}^{n}-a_{2} & a_{2}^{n-1}-a_{2} & \ldots & a_{2}^{2}-a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n-1}^{n}-a_{n-1} & a_{n-1}^{n-1}-a_{n-1} & \ldots & a_{n-1}^{2}-a_{n-1}\end{array}\right|$ ，求 $D_{n}$

2．设 A 的初等因子为：$(\gamma+1),(\gamma+1),(\gamma-1),(\gamma-1)^{2}$
（a）求 $\gamma E-A$ 的不变因子
（b）求 A 的 Jordan 标准型和 A 的最小多项式

3．已知 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(1-a) x_{1}^{2}+(1-a) x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2(1-a) x_{1} x_{2}$
（a）求 $a$
（b）求正交变换 $X=Q Y$ ，使得 f 为标准型
（c）求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解
（d）请问矩阵方程 $X^{3}=A$ 是否有解？若有的话请给出解，若没有的话请说明理由。（其中 A 为与 f 相伴的矩阵）

4．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性无关，求 $L\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \ldots, \alpha_{s-1}+\alpha_{s}, \alpha_{s}+\alpha_{1}\right)$的基和维数

5．设线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\epsilon_{1}=(1,2,1), \epsilon_{2}=(0,1,2)$ 下的矩阵为 A ，线性变换 $\mathscr{B}$ 在 $\omega_{1}=(6,0,1), \omega_{2}=(3,5,6)$ 下的矩阵为 B
（a）求 $\mathscr{A}(\gamma)$ 在 $\epsilon_{1}, \epsilon_{2}$ 下的坐标，其中 $\gamma=(1,1)$
（b）求 $\mathscr{A}+\mathscr{B}$ 在 $\omega_{1}, \omega_{2}$ 下的矩阵
（c）求 $\mathscr{A} \mathscr{B}$ 在 $\epsilon_{1}, \epsilon_{2}$ 下的矩阵

1．设 A 为 $m * n$ 矩阵， B 为 $n * m$ 矩阵，$r(A)=n$ ，求证：$r(A B)=r(B)$

2．设 $f(x)=(x-1)(x-2) \ldots(x-n)-1$ ，求证：$f(x)$ 在 Q 上不可约 $(n) \geq 2$

3．设 A 和 B 均为实对称矩阵，且 A 和 B 有完全相同的特征值，求证：
（a）存在正交矩阵 T ，使得 $B=T^{-1} A T$
（b）若 A 为正定矩阵，则 $|B+E|=|A+E|>1$