南京信息工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
4．（数据可能不对）已知 $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 5 & 4 & 3\end{array}\right]$ ，且 $B=(A-E)^{-1}(A+E)$ ，求 $(B+E)^{-1}$
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立B与A的关系式
由 $B = (A - E)^{-1}(A + E)$，两边左乘 $(A - E)$ 得 $(A - E)B = A + E$。整理得 $AB - B = A + E$，移项得 $AB - A = B + E$，即 $A(B - E) = B + E$。
公式：$(A - E)B = A + E$
提示：注意左乘和右乘的区别，矩阵乘法不满足交换律。
步骤 2/7
目标：推导A与B的对称关系
由 $A(B - E) = B + E$，两边右乘 $(B - E)^{-1}$ 得 $A = (B + E)(B - E)^{-1}$。这表明 $A$ 与 $B$ 的关系类似于 $B$ 与 $A$ 的关系。
公式：$A = (B + E)(B - E)^{-1}$
提示：确保 $(B - E)$ 可逆，由已知条件可推得。
步骤 3/7
目标：化简求 $(B+E)^{-1}$ 的表达式
由 $A = (B + E)(B - E)^{-1}$ 得 $A(B - E) = B + E$。两边减去 $(B - E)$ 得 $(A - E)(B - E) = 2E$，因此 $(B - E)^{-1} = \frac{1}{2}(A - E)$。又 $B + E = A(B - E)$，所以 $(B + E)^{-1} = (A(B - E))^{-1} = (B - E)^{-1}A^{-1} = \frac{1}{2}(A - E)A^{-1} = \frac{1}{2}(E - A^{-1})$。
公式：$(B+E)^{-1} = \frac{1}{2}(E - A^{-1})$
提示：注意 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，顺序不能颠倒。
步骤 4/7
目标：计算A的行列式
$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 5 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} + 0 = (9-8) - 2(3-10) = 1 + 14 = 15$。
提示：按第一行展开，注意符号：$(-1)^{1+2} = -1$。
步骤 5/7
目标：计算A的伴随矩阵
计算各代数余子式：$A_{11}=1$, $A_{12}=7$, $A_{13}=-11$, $A_{21}=-6$, $A_{22}=3$, $A_{23}=6$, $A_{31}=4$, $A_{32}=-2$, $A_{33}=1$。得 $\operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} 1 & -6 & 4 \\ 7 & 3 & -2 \\ -11 & 6 & 1 \end{bmatrix}$。
提示：代数余子式带符号，且伴随矩阵是转置形式。
步骤 6/7
目标：计算A的逆矩阵
$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A) = \frac{1}{15} \begin{bmatrix} 1 & -6 & 4 \\ 7 & 3 & -2 \\ -11 & 6 & 1 \end{bmatrix}$。
公式：$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A)$
提示：确保行列式不为零，此处为15。
步骤 7/7
目标：代入计算$(B+E)^{-1}$
$(B+E)^{-1} = \frac{1}{2}(E - A^{-1}) = \frac{1}{2} \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} - \frac{1}{15} \begin{bmatrix} 1 & -6 & 4 \\ 7 & 3 & -2 \\ -11 & 6 & 1 \end{bmatrix} \right) = \frac{1}{30} \begin{bmatrix} 14 & 6 & -4 \\ -7 & 12 & 2 \\ 11 & -6 & 14 \end{bmatrix}$。
提示：通分时注意分母30，矩阵元素计算要仔细。
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