南京信息工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
2．设 A 的初等因子为：$(\gamma+1),(\gamma+1),(\gamma-1),(\gamma-1)^{2}$
（a）求 $\gamma E-A$ 的不变因子
（b）求 A 的 Jordan 标准型和 A 的最小多项式
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解初等因子与不变因子的关系
已知初等因子为：$(\gamma+1), (\gamma+1), (\gamma-1), (\gamma-1)^2$。初等因子是多项式环$\mathbb{F}[\gamma]$上的不可约因子的幂次。不变因子$d_1(\gamma) \mid d_2(\gamma) \mid \cdots \mid d_n(\gamma)$，且所有不变因子的乘积等于所有初等因子的乘积。矩阵阶数$n$等于初等因子的总次数之和：$2+1+1+1=5$，所以$A$是$5\times5$矩阵。
提示：注意初等因子的次数之和等于矩阵阶数，不变因子个数等于阶数。
步骤 2/6
目标：按不可约因子分组并排序
将初等因子按不可约因子分组：对于$\gamma+1$，幂次为1,1；对于$\gamma-1$，幂次为2,1。将每个不可约因子的幂次按降序排列：$\gamma+1$: 1,1；$\gamma-1$: 2,1。
提示：排序时从高次到低次，确保后续相乘得到的不变因子满足整除关系。
步骤 3/6
目标：构造不变因子
将对应位置的幂次相乘得到不变因子（从最高次开始）：
- 第5个不变因子（最高次）：$d_5(\gamma) = (\gamma+1)^1 \cdot (\gamma-1)^2 = (\gamma+1)(\gamma-1)^2$
- 第4个不变因子：$d_4(\gamma) = (\gamma+1)^1 \cdot (\gamma-1)^1 = (\gamma+1)(\gamma-1)$
- 由于只有两个非平凡因子，其余三个不变因子为1：$d_1(\gamma)=d_2(\gamma)=d_3(\gamma)=1$。
检查整除关系：$d_4 \mid d_5$成立。
公式：不变因子由对应位置幂次相乘得到
提示：不变因子个数等于矩阵阶数，不足的用1补齐，且需满足整除关系。
步骤 4/6
目标：写出不变因子结果
因此，$\gamma E - A$的不变因子为：
$$d_1(\gamma)=d_2(\gamma)=d_3(\gamma)=1, \quad d_4(\gamma)=(\gamma+1)(\gamma-1), \quad d_5(\gamma)=(\gamma+1)(\gamma-1)^2$$
提示：注意书写顺序，$d_1$是最小次数的。
步骤 5/6
目标：由初等因子得到Jordan标准型
每个初等因子对应一个Jordan块：
- $(\gamma+1)$对应$J_1(-1)$（1阶Jordan块，特征值-1）
- 另一个$(\gamma+1)$对应另一个$J_1(-1)$
- $(\gamma-1)$对应$J_1(1)$
- $(\gamma-1)^2$对应$J_2(1)$（2阶Jordan块，特征值1）
将这些Jordan块按对角排列得到Jordan标准型：
$$J = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
公式：初等因子$(\gamma-\lambda)^k$对应$k$阶Jordan块$J_k(\lambda)$
提示：注意Jordan块的对角线元素是特征值，次对角线为1。
步骤 6/6
目标：求最小多项式
最小多项式是最后一个不变因子$d_5(\gamma)$，也是所有初等因子的最小公倍式。初等因子为$(\gamma+1), (\gamma+1), (\gamma-1), (\gamma-1)^2$，最小公倍式为$(\gamma+1)(\gamma-1)^2$。因此最小多项式为：
$$m(\gamma) = (\gamma+1)(\gamma-1)^2$$
公式：最小多项式等于最后一个不变因子
提示：最小多项式是特征多项式的因式，且包含所有不同特征值，幂次取最大Jordan块阶数。
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