南京信息工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
1．设 A 为 $m * n$ 矩阵， B 为 $n * m$ 矩阵，$r(A)=n$ ，求证：$r(A B)=r(B)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，且 $r(A)=n$。由于 $r(A)=n$，$A$ 的列向量线性无关，因此 $A$ 是列满秩矩阵。
提示：注意 $r(A)=n$ 意味着 $A$ 的列数等于秩，且 $m \geq n$。
步骤 2/6
目标：构造左逆矩阵
因为 $A$ 列满秩，所以 $A^\top A$ 是 $n \times n$ 可逆矩阵。取 $L = (A^\top A)^{-1}A^\top$，则 $L$ 是 $n \times m$ 矩阵，且满足 $LA = I_n$。
公式：L = (A^\top A)^{-1}A^\top, \quad LA = I_n
提示：左逆矩阵的存在性依赖于列满秩，且左逆不唯一，但此处只需存在一个即可。
步骤 3/6
目标：建立关系式
计算 $L(AB) = (LA)B = I_n B = B$。因此，$B$ 可以表示为 $AB$ 与 $L$ 的乘积：$B = L(AB)$。
公式：B = L(AB)
提示：注意矩阵乘法的结合律：$L(AB) = (LA)B$。
步骤 4/6
目标：利用秩的不等式
由秩的性质，对于任意矩阵乘积 $XY$，有 $r(XY) \leq r(Y)$。应用此性质：由 $B = L(AB)$ 得 $r(B) = r(L(AB)) \leq r(AB)$。
公式：r(XY) \leq r(Y)
提示：注意不等式方向：乘积的秩不超过右因子的秩。
步骤 5/6
目标：另一个方向的不等式
同样由秩的性质，$r(AB) \leq r(B)$ 总是成立。
公式：r(AB) \leq r(B)
提示：这是矩阵乘积秩的基本性质。
步骤 6/6
目标：综合得出结论
由 $r(B) \leq r(AB)$ 和 $r(AB) \leq r(B)$，可得 $r(AB) = r(B)$。
提示：注意不等式两边夹逼得到相等。
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