南京信息工程大学 2023年高等代数第0题

设 $V = L(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_s)$，其中 $\beta_1 = \alpha_1+\alpha_2$, $\beta_2 = \alpha_2+\alpha_3$, $\ldots$, $\beta_{s-1} = \alpha_{s-1}+\alpha_s$, $\beta_s = \alpha_s+\alpha_1$。考虑线性关系：设 $k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + \cdots + k_s\beta_s = 0$。

展开得：$k_1(\alpha_1+\alpha_2) + k_2(\alpha_2+\alpha_3) + \cdots + k_{s-1}(\alpha_{s-1}+\alpha_s) + k_s(\alpha_s+\alpha_1) = 0$。合并同类项：$(k_1+k_s)\alpha_1 + (k_1+k_2)\alpha_2 + (k_2+k_3)\alpha_3 + \cdots + (k_{s-1}+k_s)\alpha_s = 0$。

由于$\alpha_1,\ldots,\alpha_s$线性无关，系数全为零： \begin{cases} k_1 + k_s = 0, \\ k_1 + k_2 = 0, \\ k_2 + k_3 = 0, \\ \vdots \\ k_{s-1} + k_s = 0. \end{cases}

由第一个方程得$k_s = -k_1$。代入最后一个得$k_{s-1} - k_1 = 0$，即$k_{s-1}=k_1$。由第二个得$k_2 = -k_1$，第三个得$k_3 = -k_2 = k_1$，依此类推，可得$k_i = (-1)^{i-1}k_1$。特别地，$k_s = (-1)^{s-1}k_1$。结合$k_s = -k_1$，得$(-1)^{s-1}k_1 = -k_1$，即$[(-1)^{s-1}+1]k_1=0$。

若$s$为奇数，则$(-1)^{s-1}=1$，得$2k_1=0$，故$k_1=0$，从而所有$k_i=0$，向量组线性无关，维数为$s$。 若$s$为偶数，则$(-1)^{s-1}=-1$，得$0\cdot k_1=0$，$k_1$自由。取$k_1=1$，则$k_2=-1, k_3=1, \ldots, k_s=-1$，得到非零线性关系：$\beta_1 - \beta_2 + \beta_3 - \cdots - \beta_s = 0$。此时向量组线性相关，秩为$s-1$。

当$s$为奇数时，基可取$\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_s$。 当$s$为偶数时，可验证$\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_{s-1}$线性无关（因为若它们线性相关，则存在不全为零系数使组合为零，但系数满足类似方程组，可推出所有系数为零），故维数为$s-1$，基可取$\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_{s-1}$。

综上， - 当$s$为奇数时，$\dim V = s$，基为$\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \ldots, \alpha_s+\alpha_1$； - 当$s$为偶数时，$\dim V = s-1$，基为$\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2+\alpha_3, \ldots, \alpha_{s-1}+\alpha_s$。