南京信息工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
3．设 A 和 B 均为实对称矩阵，且 A 和 B 有完全相同的特征值，求证：
（a）存在正交矩阵 T ，使得 $B=T^{-1} A T$
（b）若 A 为正定矩阵，则 $|B+E|=|A+E|>1$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用实对称矩阵可正交对角化
由于A和B均为实对称矩阵，根据实对称矩阵的性质，它们都可以通过正交矩阵对角化。设A和B有完全相同的特征值$\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$（计重数），则存在正交矩阵$P$和$Q$，使得$P^T A P = \Lambda$，$Q^T B Q = \Lambda$，其中$\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$。
公式：P^T A P = \Lambda, \quad Q^T B Q = \Lambda
提示：注意正交矩阵满足$P^{-1}=P^T$，且对角化时特征值顺序要一致。
步骤 2/7
目标：推导B与A的相似关系
由$Q^T B Q = \Lambda$可得$B = Q \Lambda Q^T$。又因为$\Lambda = P^T A P$，代入得$B = Q (P^T A P) Q^T = (Q P^T) A (P Q^T)$。
公式：B = (Q P^T) A (P Q^T)
提示：注意矩阵乘法顺序，不要颠倒。
步骤 3/7
目标：构造正交矩阵T
令$T = P Q^T$，则$T$是正交矩阵，因为$P$和$Q$都是正交矩阵，它们的乘积仍为正交矩阵。且$T^{-1} = T^T = (P Q^T)^T = Q P^T$。因此$B = T^{-1} A T$。
公式：T = P Q^T, \quad T^{-1} = Q P^T
提示：验证正交性：$T^T T = (P Q^T)^T (P Q^T) = Q P^T P Q^T = Q Q^T = I$。
步骤 4/7
目标：证明(a)部分完成
因此存在正交矩阵$T$使得$B = T^{-1} A T$，即$A$与$B$正交相似。
提示：正交相似是相似的一种特殊情况，保持特征值不变。
步骤 5/7
目标：利用正定性得到特征值性质
若$A$为正定矩阵，则$A$的所有特征值$\lambda_i > 0$。由(a)知$B$与$A$相似，故$B$的特征值也是$\lambda_i$。
公式：\lambda_i > 0
提示：正定矩阵的特征值全大于0，这是正定矩阵的充要条件。
步骤 6/7
目标：计算行列式|B+E|
由于$B$可正交对角化，$B+E$的特征值为$\lambda_i + 1$，因此$|B+E| = \prod_{i=1}^n (\lambda_i + 1)$。同理$|A+E| = \prod_{i=1}^n (\lambda_i + 1)$，所以$|B+E| = |A+E|$。
公式：|B+E| = \prod_{i=1}^n (\lambda_i + 1)
提示：注意$B+E$的特征值不是$\lambda_i$加1，而是$\lambda_i+1$，因为$E$是单位矩阵。
步骤 7/7
目标：证明|A+E|>1
由于每个$\lambda_i > 0$，故$\lambda_i + 1 > 1$，所以乘积$\prod_{i=1}^n (\lambda_i + 1) > 1$，即$|A+E| > 1$。
公式：\prod_{i=1}^n (\lambda_i + 1) > 1
提示：所有因子大于1，乘积必然大于1。
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