南京信息工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $f(x)=(x-1)(x-2) \ldots(x-n)-1$ ，求证：$f(x)$ 在 Q 上不可约 $(n) \geq 2$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：反证法假设可约
假设 $f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上可约，则存在非零有理系数多项式 $g(x), h(x) \in \mathbb{Q}[x]$ 使得 $f(x) = g(x)h(x)$，且 $\deg g, \deg h \geq 1$。
提示：注意可约的定义：分解为两个次数至少为1的有理系数多项式乘积。
步骤 2/6
目标：应用高斯引理化为整系数
由于 $f(x)$ 是首一整系数多项式，由高斯引理，可设 $g(x), h(x)$ 是首一整系数多项式。
公式：高斯引理：本原多项式乘积仍为本原。
提示：确保 $g(x), h(x)$ 的首项系数为1，且系数为整数。
步骤 3/6
目标：代入特殊点得到整数条件
考虑 $x = 1, 2, \dots, n$，有 $f(k) = -1$，故 $g(k)h(k) = -1$。由于 $g(k), h(k)$ 是整数，所以 $g(k) = \pm 1$，$h(k) = \mp 1$。因此 $g(k) + h(k) = 0$ 对 $k = 1, 2, \dots, n$ 成立。
公式：$f(k) = (k-1)(k-2)\cdots(k-n)-1 = -1$
提示：注意 $g(k)$ 和 $h(k)$ 是整数，乘积为-1，所以它们只能是1和-1的组合。
步骤 4/6
目标：构造多项式并利用根的数量
令 $p(x) = g(x) + h(x)$，则 $p(x)$ 是次数不超过 $\max(\deg g, \deg h)$ 的整系数多项式，且 $p(k) = 0$ 对 $k = 1, \dots, n$ 成立。因此 $p(x)$ 有 $n$ 个不同的根，故 $p(x)$ 的次数至少为 $n$。
公式：若多项式有 $n$ 个不同根，则次数 $\geq n$。
提示：注意 $p(x)$ 可能为零多项式，但若为零则 $g=-h$，代入 $f=-h^2$，次数矛盾，故非零。
步骤 5/6
目标：导出次数矛盾
但 $\deg p \leq \max(\deg g, \deg h) < n$（因为 $\deg f = n$，且 $\deg g, \deg h \geq 1$，所以 $\max(\deg g, \deg h) \leq n-1$），矛盾。
公式：$\deg f = \deg g + \deg h = n$，且 $\deg g, \deg h \geq 1$，故 $\max(\deg g, \deg h) \leq n-1$。
提示：注意 $\deg p$ 可能小于 $\max(\deg g, \deg h)$，但仍有 $\deg p \leq \max(\deg g, \deg h)$。
步骤 6/6
目标：结论
因此假设不成立，$f(x)$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。
提示：反证法完成。
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