南京信息工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
3．设 A 和 B 分别为 4 阶方阵，其中 $r(A)=3 r(B)=4$ ，求 $r\left(A^{*} B^{*}\right)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析矩阵A的秩并求A*的秩
已知A是4阶方阵，且$r(A)=3$。由于$r(A)=n-1$（其中$n=4$），根据伴随矩阵秩的性质：若$r(A)=n-1$，则$r(A^*)=1$；若$r(A)
公式：若$r(A)=n-1$，则$r(A^*)=1$
提示：注意区分$r(A)=n-1$和$r(A)
步骤 2/4
目标：分析矩阵B的秩并求B*的秩
已知B是4阶方阵，且$r(B)=4$，即B满秩，故B可逆。伴随矩阵$B^* = |B|B^{-1}$，由于$|B|\neq0$且$B^{-1}$可逆，所以$B^*$可逆，从而$r(B^*)=4$。
公式：$B^* = |B|B^{-1}$
提示：可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，秩等于阶数。
步骤 3/4
目标：利用可逆矩阵乘法的秩不变性求$r(A^*B^*)$
由于$B^*$可逆，左乘可逆矩阵不改变矩阵的秩，即$r(A^*B^*) = r(A^*)$。因此$r(A^*B^*) = r(A^*) = 1$。
公式：若P可逆，则$r(PA)=r(A)$
提示：注意左乘和右乘的区别：左乘可逆矩阵不改变秩，右乘亦然。
步骤 4/4
目标：得出最终结论
综上所述，$r(A^*B^*) = 1$。
提示：确保理解伴随矩阵秩的定理和可逆矩阵乘法的性质。
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