南京信息工程大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
1．已知 $D_{n-1}=\left|\begin{array}{cccc}a_{1}^{n}-a_{1} & a_{1}^{n-1}-a_{1} & \ldots & a_{1}^{2}-a_{1} \\ a_{2}^{n}-a_{2} & a_{2}^{n-1}-a_{2} & \ldots & a_{2}^{2}-a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n-1}^{n}-a_{n-1} & a_{n-1}^{n-1}-a_{n-1} & \ldots & a_{n-1}^{2}-a_{n-1}\end{array}\right|$ ，求 $D_{n}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：提取公因子
从行列式 $D_{n-1}$ 的每一行中提取公因子 $a_i$，得到：
$$D_{n-1} = \prod_{i=1}^{n-1} a_i \left|\begin{array}{cccc}
a_1^{n-1} - 1 & a_1^{n-2} - 1 & \ldots & a_1 - 1 \\
a_2^{n-1} - 1 & a_2^{n-2} - 1 & \ldots & a_2 - 1 \\
\vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
a_{n-1}^{n-1} - 1 & a_{n-1}^{n-2} - 1 & \ldots & a_{n-1} - 1
\end{array}\right|$$
公式：行列式提取公因子：每行提取 $a_i$
提示：注意每行提取 $a_i$ 后，行列式乘以 $\prod a_i$，且每个元素变为 $a_i^k - 1$ 形式。
步骤 2/6
目标：添加一行一列构造范德蒙德行列式
将行列式扩展为 $n$ 阶行列式，添加一行全1和最后一列全1，并调整符号：
$$\left|\begin{array}{cccc}
a_1^{n-1} - 1 & a_1^{n-2} - 1 & \ldots & a_1 - 1 \\
a_2^{n-1} - 1 & a_2^{n-2} - 1 & \ldots & a_2 - 1 \\
\vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\
a_{n-1}^{n-1} - 1 & a_{n-1}^{n-2} - 1 & \ldots & a_{n-1} - 1
\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc}
a_1^{n-1} & a_1^{n-2} & \ldots & a_1 & 1 \\
a_2^{n-1} & a_2^{n-2} & \ldots & a_2 & 1 \\
\vdots & \vdots & \ldots & \vdots & \vdots \\
a_{n-1}^{n-1} & a_{n-1}^{n-2} & \ldots & a_{n-1} & 1 \\
1 & 1 & \ldots & 1 & 1
\end{array}\right|$$
这是因为原行列式每列可写成 $a_i^k - 1$，通过添加一行全1和最后一列全1，并利用行列式性质（将最后一列乘以-1加到前面各列）可得到该结果。
公式：行列式添加一行一列技巧
提示：注意添加行和列后，行列式值不变，但需验证变换的正确性。
步骤 3/6
目标：行变换调整顺序
将最后一行（全1行）依次与上方各行交换，直到成为第一行，共进行 $n-1$ 次交换，每次交换改变符号，因此乘以 $(-1)^{n-1}$：
$$\left|\begin{array}{cccc}
a_1^{n-1} & a_1^{n-2} & \ldots & a_1 & 1 \\
a_2^{n-1} & a_2^{n-2} & \ldots & a_2 & 1 \\
\vdots & \vdots & \ldots & \vdots & \vdots \\
a_{n-1}^{n-1} & a_{n-1}^{n-2} & \ldots & a_{n-1} & 1 \\
1 & 1 & \ldots & 1 & 1
\end{array}\right| = (-1)^{n-1} \left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
a_1 & a_2 & \ldots & a_{n-1} & 1 \\
a_1^2 & a_2^2 & \ldots & a_{n-1}^2 & 1 \\
\vdots & \vdots & \ldots & \vdots & \vdots \\
a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \ldots & a_{n-1}^{n-1} & 1
\end{array}\right|$$
公式：行交换改变符号
提示：交换次数为 $n-1$，符号为 $(-1)^{n-1}$。
步骤 4/6
目标：识别为范德蒙德行列式
注意到行列式
$$\left|\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
a_1 & a_2 & \ldots & a_{n-1} & 1 \\
a_1^2 & a_2^2 & \ldots & a_{n-1}^2 & 1 \\
\vdots & \vdots & \ldots & \vdots & \vdots \\
a_1^{n-1} & a_2^{n-1} & \ldots & a_{n-1}^{n-1} & 1
\end{array}\right|$$
是 $n$ 阶范德蒙德行列式，其元素为 $b_1=1, b_2=a_1, b_3=a_2, \ldots, b_n=a_{n-1}$。
公式：范德蒙德行列式形式
提示：注意第一行全1对应 $b_i^0$，第二行对应 $b_i^1$，以此类推。
步骤 5/6
目标：应用范德蒙德行列式公式
范德蒙德行列式的值为 $\prod_{1 \le i < j \le n} (b_j - b_i)$。这里 $b_1=1, b_2=a_1, b_3=a_2, \ldots, b_n=a_{n-1}$，因此：
$$\prod_{1 \le i < j \le n} (b_j - b_i) = \prod_{j=2}^n (b_j - b_1) \prod_{2 \le i < j \le n} (b_j - b_i) = \prod_{i=1}^{n-1} (a_i - 1) \prod_{1 \le i < j \le n-1} (a_j - a_i)$$
注意 $\prod_{i=1}^{n-1} (a_i - 1) = (-1)^{n-1} \prod_{i=1}^{n-1} (1 - a_i)$。
公式：范德蒙德行列式公式：$\prod_{1 \le i < j \le n} (b_j - b_i)$
提示：注意乘积顺序，$b_j - b_i$ 中 $j>i$。
步骤 6/6
目标：整合结果
将上述结果代入 $D_{n-1}$ 表达式：
$$D_{n-1} = \prod_{i=1}^{n-1} a_i \cdot (-1)^{n-1} \cdot \left[ (-1)^{n-1} \prod_{i=1}^{n-1} (1 - a_i) \prod_{1 \le i < j \le n-1} (a_j - a_i) \right]$$
化简得：
$$D_{n-1} = (-1)^{2(n-1)} \prod_{i=1}^{n-1} a_i \prod_{1 \le i < j \le n-1} (a_j - a_i) \prod_{i=1}^{n-1} (1 - a_i) = \prod_{i=1}^{n-1} a_i \prod_{1 \le i < j \le n-1} (a_j - a_i) \prod_{i=1}^{n-1} (1 - a_i)$$
注意 $(-1)^{2(n-1)} = 1$。
提示：注意符号化简，$(-1)^{n-1} \cdot (-1)^{n-1} = (-1)^{2(n-1)} = 1$。
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