南京师范大学 2010年高等代数第0题
📝 题目
一、（本题满分15分）计算行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{ccc|ccc}7 & 4 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 3 & 7 & 4 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 7 & \cdots & 0 & 0 \\ \hline \vdots & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 3\end{array}\right|$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别行列式结构
观察行列式 $D_n$，它是一个 $n$ 阶三对角行列式，主对角线元素全为7，次对角线（上方）元素全为4，次对角线（下方）元素全为3，其余元素为0。
提示：注意三对角行列式的特点：只有主对角线和两条相邻的次对角线非零。
步骤 2/6
目标：按第一行展开建立递推关系
按第一行展开行列式 $D_n$。第一行只有两个非零元素：$a_{11}=7$ 和 $a_{12}=4$。
展开得：
$$D_n = 7 \cdot D_{n-1} + 4 \cdot (-1)^{1+2} \cdot M_{12},$$
其中 $M_{12}$ 是去掉第1行第2列后的余子式。
计算 $M_{12}$：去掉第1行第2列后，得到如下 $(n-1)$ 阶行列式：
$$\begin{vmatrix}
3 & 4 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 7 & 4 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 3 & 7 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \ddots & & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 7 & 4 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 3 & 7
\end{vmatrix}$$
这个行列式按第一行展开，第一行只有 $a_{11}=3$ 非零，其余为0，所以 $M_{12} = 3 \cdot D_{n-2}$。
因此，
$$D_n = 7D_{n-1} - 4 \cdot 3 \cdot D_{n-2} = 7D_{n-1} - 12D_{n-2}.$$
公式：$$D_n = 7D_{n-1} - 12D_{n-2}$$
提示：注意符号：$(-1)^{1+2} = -1$，所以展开时是减去 $4 \cdot M_{12}$。另外，$M_{12}$ 的展开要小心，它本身是一个三对角行列式，但第一行只有第一个元素非零，所以直接得到 $3D_{n-2}$。
步骤 3/6
目标：计算初始条件
计算 $D_1$ 和 $D_2$ 作为递推的初始值。
$D_1 = |7| = 7$。
$D_2 = \begin{vmatrix} 7 & 4 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = 7\cdot7 - 4\cdot3 = 49 - 12 = 37$。
提示：计算二阶行列式时注意公式 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$。
步骤 4/6
目标：求解递推关系
递推关系 $D_n = 7D_{n-1} - 12D_{n-2}$ 是常系数线性齐次递推。其特征方程为 $r^2 - 7r + 12 = 0$，解得 $r_1 = 3$，$r_2 = 4$。
因此通解形式为 $D_n = A \cdot 3^n + B \cdot 4^n$。
公式：特征方程：$r^2 - 7r + 12 = 0$，根 $r=3,4$
提示：特征方程由递推关系得到：将 $D_n = r^n$ 代入递推式，得到 $r^n = 7r^{n-1} - 12r^{n-2}$，两边除以 $r^{n-2}$ 得 $r^2 = 7r - 12$。
步骤 5/6
目标：利用初始条件确定系数
将 $n=1$ 和 $n=2$ 代入通解：
$n=1$: $3A + 4B = 7$
$n=2$: $9A + 16B = 37$
解方程组：
第一个方程乘以3得 $9A + 12B = 21$，减去第二个方程得 $(9A+12B) - (9A+16B) = 21-37$，即 $-4B = -16$，所以 $B=4$。
代入 $3A + 16 = 7$，得 $3A = -9$，$A = -3$。
因此 $D_n = -3 \cdot 3^n + 4 \cdot 4^n = 4^{n+1} - 3^{n+1}$。
提示：注意指数运算：$4 \cdot 4^n = 4^{n+1}$，$-3 \cdot 3^n = -3^{n+1}$。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
所以行列式 $D_n = 4^{n+1} - 3^{n+1}$。
公式：$$D_n = 4^{n+1} - 3^{n+1}$$
提示：最终答案可以写成 $4^{n+1} - 3^{n+1}$，注意指数是 $n+1$ 而不是 $n$。
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