📝 南京师范大学 2010年高等代数真题

一、（本题满分15分）计算行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{ccc|ccc}7 & 4 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 3 & 7 & 4 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 7 & \cdots & 0 & 0 \\ \hline \vdots & \vdots & & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 3\end{array}\right|$ 。

七、（本题满分 14 分）已知 $\displaystyle A, B$ 都为 $n$ 级正定矩阵，证明：（1）$A$ 中绝对值最大的元素在主对角线上； （2）$\displaystyle |A+B|>|A|+|B|$ ．

九、（本题满分 15 分）设复数 $\displaystyle c \neq 0$ 为某个非零有理系数多项式的根，记 $\displaystyle M=\{f(x) \mid f(x)$ 为有理系数多项式，$\displaystyle f(c)=0\}$ ．
（1）证明：$M$ 中存在唯一的首项系数为 1 的有理数域上的不可约多项式 $\displaystyle p(x)$ ，使得对任意的 $\displaystyle f(x) \in M$ 都有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 成立；
（2）证明：存在有理数域上的多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(c)=\frac{1}{c}$ ；
（3）令 $\displaystyle c=\sqrt{3}+i$ ，求（1）中的 $\displaystyle p(x)$ ．

二、（本题满分 15 分）设整系数多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+a x^{2}+b x-3$ ，记 $\displaystyle (f(x), g(x))$ 为 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的首项系数为 1 的最大公因式，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的导数．若 $\displaystyle \frac{f(x)}{\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)}$ 为二次多项式，求 $\displaystyle a^{2}+b^{2}$ 的值．三、（本题满分 16 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的若尔当标准形和 $A$ 的有理标准形．

五、（本题满分 20 分）设 $V$ 是由数域 $F$ 上 $x$ 的次数小于 $n$ 的全体多项式，再添上零多项式构成的线性空间，定义 $V$ 上的线性变换 A ，使 $\displaystyle \mathrm{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ，其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的导数。（1）求 A 的核 $\displaystyle \mathrm{A}^{-1}(0)$ 与值域 $\displaystyle \mathrm{A} V$ ；（2）证明：线性空间 $V$ 是 $\displaystyle \mathrm{A}^{-1}(0)$ 与 $\displaystyle \mathrm{A} V$ 的直和．

八、（本题满分 10 分）设 $\displaystyle A, B$ 为复数域上的 $n$ 级矩阵，且 $A$ 和 $B$ 无公共特征根，证明：关于 $X$ 的矩阵方程 $\displaystyle A X=X B$ 只有零解．

六、（本题满分 15 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}2 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，请把 $A$ 分解为一个可逆矩阵 $B$ 和一个幂等矩阵 $C$（即 $\displaystyle C^{2}=C$ ）的乘积。
$\displaystyle \_\_\_\_$
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十、（本题满分 15 分）设 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级循环矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\ a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{0} & a_{1} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0}\end{array}\right)$ ．
（1）试把 $A$ 表示为一个 $n$ 级可逆矩阵 $T$ 的多项式；
（2）证明：所有的 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级循环矩阵在复数域上可以同时对角化．

科目名称 $\displaystyle \_\_\_\_$高等代数
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四、（本题满分 15 分）设 $n$ 级行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|a_{i j}\right| \neq 0, A_{i j}$ 为 $\displaystyle D_{n}$ 中元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，证明：当 $\displaystyle r<n$ 时，线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0, \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{r 1} x_{1}+a_{r 2} x_{2}+\cdots+a_{r n} x_{n}=0 .\end{array}\right.$ 有一个基础解系为：（ $\displaystyle \left.A_{j 1}, A_{j 2}, \cdots, A_{j n}\right)$ ， $\displaystyle j=r+1, r+2, \cdots, n$.