南京师范大学 2010年高等代数第0题
📝 题目
七、（本题满分 14 分）已知 $\displaystyle A, B$ 都为 $n$ 级正定矩阵，证明：（1）$A$ 中绝对值最大的元素在主对角线上； （2）$\displaystyle |A+B|>|A|+|B|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明正定矩阵的对角元为正
设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 级正定矩阵，则对任意非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $x^T A x > 0$。取 $x$ 为第 $i$ 个分量为1、其余为0的单位向量 $e_i$，则 $a_{ii} = e_i^T A e_i > 0$。因此所有对角元均为正数。
公式：$x^T A x > 0$
提示：注意正定矩阵的定义：对任意非零实向量 $x$，有 $x^T A x > 0$。
步骤 2/5
目标：推导非对角元的上下界
取 $x = e_i + e_j$，其中 $e_i, e_j$ 是单位向量，则 $x^T A x = (e_i+e_j)^T A (e_i+e_j) = a_{ii} + a_{jj} + 2a_{ij} > 0$，故 $a_{ij} > -\frac{a_{ii}+a_{jj}}{2}$。再取 $x = e_i - e_j$，则 $x^T A x = a_{ii} + a_{jj} - 2a_{ij} > 0$，故 $a_{ij} < \frac{a_{ii}+a_{jj}}{2}$。因此 $|a_{ij}| < \frac{a_{ii}+a_{jj}}{2}$。
公式：$a_{ii}+a_{jj} \pm 2a_{ij} > 0$
提示：注意 $e_i \pm e_j$ 是非零向量，所以二次型为正。
步骤 3/5
目标：证明绝对值最大的元素在对角线上
由 $|a_{ij}| < \frac{a_{ii}+a_{jj}}{2} \leq \max\{a_{ii}, a_{jj}\}$，可知非对角元的绝对值小于某个对角元。因此，若绝对值最大的元素是非对角元，则其绝对值小于某对角元，矛盾。故绝对值最大的元素必在主对角线上。
公式：$|a_{ij}| < \max\{a_{ii}, a_{jj}\}$
提示：注意 $\frac{a_{ii}+a_{jj}}{2} \leq \max\{a_{ii}, a_{jj}\}$ 恒成立。
步骤 4/5
目标：将矩阵同时对角化
由于 $A$ 正定，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^T A P = I$（单位矩阵）。令 $B' = P^T B P$，则 $B'$ 仍为正定矩阵。因为 $B'$ 对称正定，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T B' Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i > 0$。同时，$Q^T (P^T A P) Q = Q^T I Q = I$。因此，令 $R = PQ$，则 $R^T A R = I$，$R^T B R = \Lambda$。
公式：$R^T A R = I$, $R^T B R = \Lambda$
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 的选取：先通过 $A$ 合同于 $I$，再通过正交变换对角化 $B'$。
步骤 5/5
目标：计算行列式并比较
由 $R$ 可逆，有 $|A+B| = |R^T (A+B) R| = |I+\Lambda| = \prod_{i=1}^n (1+\lambda_i)$。而 $|A| = |I| = 1$，$|B| = |\Lambda| = \prod_{i=1}^n \lambda_i$，故 $|A|+|B| = 1 + \prod_{i=1}^n \lambda_i$。由于 $\lambda_i > 0$，展开 $\prod_{i=1}^n (1+\lambda_i) = 1 + \sum \lambda_i + \cdots + \prod \lambda_i$，其中除 $1$ 和 $\prod \lambda_i$ 外还有正项，因此 $\prod_{i=1}^n (1+\lambda_i) > 1 + \prod_{i=1}^n \lambda_i$，即 $|A+B| > |A|+|B|$。
公式：$|A+B| = \prod (1+\lambda_i)$, $|A|+|B| = 1+\prod \lambda_i$
提示：注意 $|R^T (A+B) R| = |R^T| |A+B| |R| = |A+B| |R^T R|$，但 $|R^T R| = |R|^2$，而这里实际上 $|R^T (A+B) R| = |R^T| |A+B| |R| = |A+B| |R^T R|$，但由于 $R$ 可逆，$|R^T R| \neq 1$，但等式 $|A+B| = |R^T (A+B) R|$ 不成立，因为 $|R^T (A+B) R| = |R|^2 |A+B|$。正确做法：$|A+B| = |R^{-T} (I+\Lambda) R^{-1}| = |R^{-1}|^2 |I+\Lambda|$，但 $|A| = |R^{-T} I R^{-1}| = |R^{-1}|^2$，$|B| = |R^{-T} \Lambda R^{-1}| = |R^{-1}|^2 |\Lambda|$，所以 $|A+B| = |R^{-1}|^2 |I+\Lambda|$，$|A|+|B| = |R^{-1}|^2 (1+|\Lambda|)$，两边同除以 $|R^{-1}|^2$ 即得比较。因此步骤中应说明 $|A+B| = |R^{-1}|^2 |I+\Lambda|$，但最终比较等价于 $|I+\Lambda| > 1+|\Lambda|$。
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