南京师范大学 2010年高等代数第0题

对矩阵 $A=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ 进行行变换：$R_2 - \frac{1}{2}R_1$，$R_3 - \frac{1}{2}R_1$ 得 $\begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，秩为2。

由于秩为2，取A的前两列作为矩阵B的列，即 $B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，则存在 $2\times3$ 矩阵C使得 $A = BC$。设 $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & c_{13} \\ 0 & 1 & c_{23} \end{pmatrix}$。

计算 $BC = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & c_{13} \\ 0 & 1 & c_{23} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2c_{13}+4c_{23} \\ 1 & 3 & c_{13}+3c_{23} \\ 1 & 2 & c_{13}+2c_{23} \end{pmatrix}$。与A比较得方程组：$2c_{13}+4c_{23}=2$，$c_{13}+3c_{23}=0$，$c_{13}+2c_{23}=1$。解得 $c_{23}=-1$，$c_{13}=3$。

此时 $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$，但C不是方阵，无法直接验证幂等。需将B扩展为可逆方阵，C扩展为方阵。

在B中添加一行，使其成为 $3\times3$ 可逆矩阵。取 $B = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$，计算行列式 $\det(B)=2\cdot3\cdot1+4\cdot0\cdot1+0\cdot1\cdot2-(0\cdot3\cdot1+4\cdot1\cdot1+2\cdot0\cdot2)=6-4=2\neq0$，可逆。

将C扩展为 $3\times3$ 矩阵 $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。计算 $BC = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} = A$。验证 $C^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = C$，满足幂等性。

因此，$A = BC$，其中 $B = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ 可逆，$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 幂等。