南京师范大学 2010年高等代数第0题
📝 题目
九、（本题满分 15 分）设复数 $\displaystyle c \neq 0$ 为某个非零有理系数多项式的根，记 $\displaystyle M=\{f(x) \mid f(x)$ 为有理系数多项式，$\displaystyle f(c)=0\}$ ．
（1）证明：$M$ 中存在唯一的首项系数为 1 的有理数域上的不可约多项式 $\displaystyle p(x)$ ，使得对任意的 $\displaystyle f(x) \in M$ 都有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 成立；
（2）证明：存在有理数域上的多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(c)=\frac{1}{c}$ ；
（3）令 $\displaystyle c=\sqrt{3}+i$ ，求（1）中的 $\displaystyle p(x)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明M中存在次数最小的非零多项式
由于$c$是某个非零有理系数多项式的根，集合$M$非空。在$M$中选取一个次数最小的非零多项式$p_0(x)$，将其乘以适当的有理数化为首一多项式，记为$p(x)$。
提示：注意$M$包含零多项式，但我们要选非零的。次数最小性保证存在性。
步骤 2/7
目标：证明$p(x)$在$\mathbb{Q}$上不可约
假设$p(x)=g(x)h(x)$，其中$g,h\in\mathbb{Q}[x]$且$\deg g,\deg h<\deg p$。代入$x=c$得$g(c)h(c)=0$，故$g(c)=0$或$h(c)=0$，这与$p$的次数最小性矛盾。因此$p(x)$不可约。
提示：不可约性证明常用反证法，注意次数严格小于。
步骤 3/7
目标：证明$p(x)$整除$M$中任意多项式
对任意$f(x)\in M$，用$p(x)$除$f(x)$：$f(x)=q(x)p(x)+r(x)$，其中$\deg r<\deg p$。代入$x=c$得$r(c)=0$，故$r(x)\in M$。由$p$的次数最小性知$r(x)=0$，所以$p(x)\mid f(x)$。
公式：带余除法：$f(x)=q(x)p(x)+r(x)$
提示：注意余数次数小于除数次数，这是带余除法的关键。
步骤 4/7
目标：证明唯一性
若存在另一个首一不可约多项式$q(x)$满足同样性质，则$p(x)\mid q(x)$且$q(x)\mid p(x)$，故$p(x)=q(x)$。
提示：整除关系结合首一性推出相等。
步骤 5/7
目标：证明存在$g(x)\in\mathbb{Q}[x]$使得$g(c)=1/c$
由(1)，$p(x)$是$c$的极小多项式。由于$c\neq0$，$p(0)\neq0$（否则$x\mid p(x)$，与不可约矛盾）。$p(x)$与$x$互素，存在$u(x),v(x)\in\mathbb{Q}[x]$使得$u(x)p(x)+v(x)x=1$。代入$x=c$得$v(c)c=1$，即$v(c)=1/c$。取$g(x)=v(x)$即可。
公式：Bezout等式：$u(x)p(x)+v(x)x=1$
提示：注意$p(0)\neq0$保证$p(x)$与$x$互素。
步骤 6/7
目标：求$c=\sqrt{3}+i$的极小多项式
计算$c^2=(\sqrt{3}+i)^2=2+2\sqrt{3}i$，$c^4=(c^2)^2=4+8\sqrt{3}i-12=-8+8\sqrt{3}i$。则$c^4-4c^2=(-8+8\sqrt{3}i)-4(2+2\sqrt{3}i)=-16$，所以$c^4-4c^2+16=0$。因此$p(x)=x^4-4x^2+16$是$c$的有理系数多项式。
公式：$c^4-4c^2+16=0$
提示：注意计算$c^4$时利用$(a+b)^2$展开，避免错误。
步骤 7/7
目标：验证$p(x)$不可约
$p(x)$无有理根（可能的有理根$\pm1,\pm2,\pm4,\pm8,\pm16$均不满足）。若可分解为两个二次因式乘积：$x^4-4x^2+16=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$，比较系数得方程组：$a+c=0$，$ac+b+d=-4$，$ad+bc=0$，$bd=16$。解得无有理数解，故不可约。
提示：有理根检验和二次因式分解是判断不可约的常用方法。
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