南京师范大学 2010年高等代数第0题
📝 题目
四、（本题满分 15 分）设 $n$ 级行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|a_{i j}\right| \neq 0, A_{i j}$ 为 $\displaystyle D_{n}$ 中元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，证明：当 $\displaystyle r<n$ 时，线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0, \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{r 1} x_{1}+a_{r 2} x_{2}+\cdots+a_{r n} x_{n}=0 .\end{array}\right.$ 有一个基础解系为：（ $\displaystyle \left.A_{j 1}, A_{j 2}, \cdots, A_{j n}\right)$ ， $\displaystyle j=r+1, r+2, \cdots, n$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确方程组与已知条件
已知 $n$ 级行列式 $D_n = |a_{ij}| \neq 0$，$A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式。考虑线性方程组：
$$
\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = 0, \\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = 0, \\
\cdots \cdots \cdots \\
a_{r1}x_1 + a_{r2}x_2 + \cdots + a_{rn}x_n = 0,
\end{cases}
$$
其中 $r < n$。需要证明向量 $(A_{j1}, A_{j2}, \dots, A_{jn})$，$j = r+1, r+2, \dots, n$ 是方程组的一个基础解系。
提示：注意 $r < n$，且 $D_n \neq 0$ 意味着系数矩阵可逆，但方程组只有 $r$ 个方程，系数矩阵秩为 $r$。
步骤 2/6
目标：引入伴随矩阵并利用性质
设系数矩阵 $A = (a_{ij})_{n \times n}$，其伴随矩阵 $A^* = (A_{ji})$，其中 $A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式。由矩阵性质，$A A^* = A^* A = D_n I_n$，即
$$
\sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk} = D_n \delta_{ij},
$$
其中 $\delta_{ij}$ 是 Kronecker 符号（当 $i=j$ 时为1，否则为0）。
公式：$A A^* = D_n I_n$
提示：伴随矩阵的定义：$A^*$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素是 $A_{ji}$，注意下标顺序。
步骤 3/6
目标：验证向量是方程组的解
对于 $j > r$ 和 $i \leq r$，由于 $i \neq j$，有 $\delta_{ij}=0$，因此
$$
\sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk} = 0, \quad i = 1,2,\dots,r.
$$
这意味着向量 $(A_{j1}, A_{j2}, \dots, A_{jn})$ 满足方程组的前 $r$ 个方程，因而是方程组的解。
公式：$\sum_{k=1}^n a_{ik} A_{jk} = D_n \delta_{ij}$
提示：注意 $i$ 从1到 $r$，$j$ 从 $r+1$ 到 $n$，所以 $i \neq j$，从而 $\delta_{ij}=0$。
步骤 4/6
目标：证明这些解线性无关
由于 $D_n \neq 0$，$A^*$ 可逆，其 $n$ 个列向量线性无关。特别地，列向量 $(A_{j1}, \dots, A_{jn})^T$，$j=1,\dots,n$ 线性无关。因此，其中 $n-r$ 个向量 $j=r+1,\dots,n$ 也线性无关。
公式：$A^*$ 可逆当且仅当 $D_n \neq 0$
提示：可逆矩阵的列向量组线性无关，其子集也线性无关。
步骤 5/6
目标：确定解空间的维数
方程组系数矩阵的秩为 $r$（因为 $D_n \neq 0$ 保证前 $r$ 行线性无关，且 $r < n$），故解空间维数为 $n - r$。
公式：解空间维数 = 未知数个数 - 系数矩阵秩
提示：系数矩阵是 $r \times n$ 矩阵，秩为 $r$，所以基础解系含 $n-r$ 个向量。
步骤 6/6
目标：得出结论
我们已经找到 $n-r$ 个线性无关的解向量，且解空间维数恰好为 $n-r$，因此这些向量构成方程组的一个基础解系。即当 $r < n$ 时，$(A_{j1}, A_{j2}, \dots, A_{jn})$，$j = r+1, r+2, \dots, n$ 是所给方程组的一个基础解系。
提示：注意基础解系要求线性无关且能生成所有解，这里两者都满足。
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