南京师范大学 2010年高等代数第0题
📝 题目
八、（本题满分 10 分）设 $\displaystyle A, B$ 为复数域上的 $n$ 级矩阵，且 $A$ 和 $B$ 无公共特征根，证明：关于 $X$ 的矩阵方程 $\displaystyle A X=X B$ 只有零解．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将矩阵方程转化为线性变换的核问题
定义线性变换 $\mathcal{L}: M_n(\mathbb{C}) \to M_n(\mathbb{C})$，$\mathcal{L}(X) = AX - XB$。则方程 $AX = XB$ 等价于 $\mathcal{L}(X) = 0$，即 $X \in \ker \mathcal{L}$。要证明只有零解，即证 $\ker \mathcal{L} = \{0\}$，亦即 $\mathcal{L}$ 是单射。
公式：$\mathcal{L}(X) = AX - XB$
提示：注意线性变换的定义域和值域都是矩阵空间，零元是零矩阵。
步骤 2/5
目标：利用Kronecker积将方程向量化
将矩阵 $X$ 按列拉直为向量 $\operatorname{vec}(X) \in \mathbb{C}^{n^2}$。利用Kronecker积的性质，$\operatorname{vec}(AX) = (I \otimes A) \operatorname{vec}(X)$，$\operatorname{vec}(XB) = (B^T \otimes I) \operatorname{vec}(X)$。因此方程 $AX = XB$ 等价于 $(I \otimes A - B^T \otimes I) \operatorname{vec}(X) = 0$。
公式：$\operatorname{vec}(AX - XB) = (I \otimes A - B^T \otimes I) \operatorname{vec}(X)$
提示：注意 $B^T$ 而不是 $B$，因为 $\operatorname{vec}(XB) = (B^T \otimes I) \operatorname{vec}(X)$。
步骤 3/5
目标：计算系数矩阵的特征值
设 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$，$B$ 的特征值为 $\mu_1, \dots, \mu_n$。则 $I \otimes A$ 的特征值为 $\lambda_i$（每个重复 $n$ 次），$B^T \otimes I$ 的特征值为 $\mu_j$（每个重复 $n$ 次）。因此 $I \otimes A - B^T \otimes I$ 的特征值为 $\lambda_i - \mu_j$，其中 $i,j=1,\dots,n$。
公式：$\sigma(I \otimes A - B^T \otimes I) = \{\lambda_i - \mu_j \mid i,j=1,\dots,n\}$
提示：Kronecker积的特征值是因子矩阵特征值的乘积，但这里是和差形式，需注意符号。
步骤 4/5
目标：利用无公共特征根条件判断可逆性
由题设，$A$ 和 $B$ 无公共特征根，即对任意 $i,j$，$\lambda_i \neq \mu_j$，故 $\lambda_i - \mu_j \neq 0$。因此 $I \otimes A - B^T \otimes I$ 的所有特征值非零，从而该矩阵可逆。
公式：$\lambda_i \neq \mu_j \Rightarrow \lambda_i - \mu_j \neq 0$
提示：可逆的充要条件是所有特征值非零。
步骤 5/5
目标：推导出零解
由于 $I \otimes A - B^T \otimes I$ 可逆，方程 $(I \otimes A - B^T \otimes I) \operatorname{vec}(X) = 0$ 只有零解，即 $\operatorname{vec}(X) = 0$，从而 $X = 0$。因此矩阵方程 $AX = XB$ 只有零解。
公式：$(I \otimes A - B^T \otimes I)^{-1}$ 存在，故 $\operatorname{vec}(X)=0$
提示：注意向量化是一一对应，零向量对应零矩阵。
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