南京师范大学 2010年高等代数第0题
📝 题目
十、（本题满分 15 分）设 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级循环矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\ a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{0} & a_{1} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0}\end{array}\right)$ ．
（1）试把 $A$ 表示为一个 $n$ 级可逆矩阵 $T$ 的多项式；
（2）证明：所有的 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级循环矩阵在复数域上可以同时对角化．
科目名称 $\displaystyle \_\_\_\_$高等代数
（共 $\displaystyle \_\_\_\_$ 2页，第 $\displaystyle \_\_\_\_$ 2
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义基本循环矩阵T
定义基本循环矩阵 $T$ 为 $n$ 级置换矩阵：
$$ T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}. $$
$T$ 是可逆矩阵，且 $T^n = I$。
公式：T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}
提示：注意 $T$ 是置换矩阵，其幂次 $T^k$ 表示循环移位 $k$ 个单位。
步骤 2/5
目标：将循环矩阵A表示为T的多项式
循环矩阵 $A$ 的第一行元素为 $a_0, a_1, \dots, a_{n-1}$。由于 $T^k$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $1$ 当且仅当 $j-i \equiv k \pmod{n}$，因此 $A$ 可以表示为 $T$ 的多项式：
$$ A = a_0 I + a_1 T + a_2 T^2 + \cdots + a_{n-1} T^{n-1}. $$
验证：该多项式矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 $a_{j-i \mod n}$，与循环矩阵定义一致。
公式：A = \sum_{k=0}^{n-1} a_k T^k
提示：注意 $T^0 = I$，且 $T^n = I$，因此多项式次数不超过 $n-1$。
步骤 3/5
目标：分析T的特征值和可对角化性
在复数域上，$T$ 的特征多项式为 $\lambda^n - 1 = 0$，特征值为 $n$ 次单位根 $\omega_k = e^{2\pi i k / n}$，$k=0,1,\dots,n-1$。由于 $T$ 的最小多项式为 $\lambda^n - 1$ 且无重根，故 $T$ 可对角化。存在可逆矩阵 $P$ 使得
$$ P^{-1} T P = \operatorname{diag}(\omega_0, \omega_1, \dots, \omega_{n-1}). $$
公式：P^{-1} T P = \operatorname{diag}(\omega_0, \omega_1, \dots, \omega_{n-1})
提示：注意 $T$ 是置换矩阵，但特征值不是1就是单位根，且不同特征值对应不同特征向量。
步骤 4/5
目标：证明所有循环矩阵可同时对角化
任意循环矩阵 $A = f(T)$，其中 $f(x) = a_0 + a_1 x + \cdots + a_{n-1} x^{n-1}$。利用 $P$ 对角化 $T$，有
$$ P^{-1} A P = f(P^{-1} T P) = \operatorname{diag}(f(\omega_0), f(\omega_1), \dots, f(\omega_{n-1})). $$
因此所有循环矩阵可由同一个 $P$ 对角化，即它们在复数域上可同时对角化。
公式：P^{-1} A P = \operatorname{diag}(f(\omega_0), f(\omega_1), \dots, f(\omega_{n-1}))
提示：注意 $f(P^{-1}TP) = P^{-1}f(T)P$ 成立，因为 $f$ 是多项式。
步骤 5/5
目标：总结结论
（1）循环矩阵 $A$ 可表示为基本循环矩阵 $T$ 的多项式：$A = \sum_{k=0}^{n-1} a_k T^k$。
（2）所有 $n$ 级循环矩阵在复数域上可同时对角化，因为它们都可以由同一个矩阵 $P$ 对角化，$P$ 由 $T$ 的特征向量构成。
提示：注意 $T$ 的特征向量与傅里叶变换有关，实际中 $P$ 可取为离散傅里叶变换矩阵。
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