南京师范大学 2010年高等代数第0题
📝 题目
五、（本题满分 20 分）设 $V$ 是由数域 $F$ 上 $x$ 的次数小于 $n$ 的全体多项式，再添上零多项式构成的线性空间，定义 $V$ 上的线性变换 A ，使 $\displaystyle \mathrm{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ，其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的导数。（1）求 A 的核 $\displaystyle \mathrm{A}^{-1}(0)$ 与值域 $\displaystyle \mathrm{A} V$ ；（2）证明：线性空间 $V$ 是 $\displaystyle \mathrm{A}^{-1}(0)$ 与 $\displaystyle \mathrm{A} V$ 的直和．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定线性空间V的基
线性空间 $V$ 由数域 $F$ 上次数小于 $n$ 的多项式及零多项式构成，故 $V$ 的一组基为 $1, x, x^2, \dots, x^{n-1}$。任意 $f(x) \in V$ 可表示为 $f(x) = \sum_{i=0}^{n-1} a_i x^i$，其中 $a_i \in F$。
提示：注意次数小于 $n$ 包括零次多项式，基的个数为 $n$。
步骤 2/5
目标：计算线性变换A的表达式
对任意 $f(x) = \sum_{i=0}^{n-1} a_i x^i$，有 $f'(x) = \sum_{i=1}^{n-1} i a_i x^{i-1}$。则
\[
\mathrm{A}(f(x)) = x f'(x) - f(x) = x \sum_{i=1}^{n-1} i a_i x^{i-1} - \sum_{i=0}^{n-1} a_i x^i = \sum_{i=1}^{n-1} i a_i x^i - \sum_{i=0}^{n-1} a_i x^i = -a_0 + \sum_{i=1}^{n-1} (i-1) a_i x^i.
\]
公式：A(f(x)) = -a_0 + \sum_{i=1}^{n-1} (i-1) a_i x^i
提示：注意求导后 $i$ 从1开始，以及 $x^0$ 项的处理。
步骤 3/5
目标：求核A^{-1}(0)
令 $\mathrm{A}(f(x)) = 0$，即 $-a_0 + \sum_{i=1}^{n-1} (i-1) a_i x^i = 0$。由于 $1, x, \dots, x^{n-1}$ 线性无关，得 $a_0 = 0$ 且 $(i-1)a_i = 0$ 对所有 $i=1,\dots,n-1$。因此 $a_1 = a_2 = \dots = a_{n-1} = 0$，故 $f(x)=0$。所以核 $\mathrm{A}^{-1}(0) = \{0\}$。
提示：注意 $(i-1)a_i=0$ 意味着当 $i \neq 1$ 时 $a_i=0$，但 $i=1$ 时 $(1-1)a_1=0$ 恒成立，然而 $a_0=0$ 且 $a_1$ 必须为0，因为 $x$ 项系数为零。
步骤 4/5
目标：求值域AV
计算A在基上的作用：
\[
\mathrm{A}(1) = -1, \quad \mathrm{A}(x) = -1, \quad \mathrm{A}(x^i) = (i-1)x^i \ (i \geq 2).
\]
由于 $\mathrm{A}(1) = \mathrm{A}(x)$，值域由 $\{-1, x^2, x^3, \dots, x^{n-1}\}$ 张成。这些向量线性无关，故 $\dim \mathrm{A}V = n-1$。实际上，$\mathrm{A}V = \operatorname{span}\{1, x^2, x^3, \dots, x^{n-1}\}$（因为 $-1$ 可换成 $1$）。
提示：注意 $\mathrm{A}(x) = -1$ 与 $\mathrm{A}(1) = -1$ 相同，因此值域中 $x$ 的像被 $1$ 的像覆盖，值域维数比 $V$ 少一维。
步骤 5/5
目标：证明直和分解
由（1）知 $\mathrm{A}^{-1}(0) = \{0\}$，故 $\mathrm{A}^{-1}(0) \cap \mathrm{A}V = \{0\}$。又 $\dim \mathrm{A}^{-1}(0) = 0$，$\dim \mathrm{A}V = n-1$，而 $\dim V = n$，所以 $\dim \mathrm{A}^{-1}(0) + \dim \mathrm{A}V = n = \dim V$。因此 $V = \mathrm{A}^{-1}(0) \oplus \mathrm{A}V$。
公式：dim(U+W) = dim U + dim W - dim(U∩W)
提示：直和需要满足两个条件：交为0且维数之和等于全空间维数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。