南京师范大学 2012年高等代数第3题
📝 题目
3、（本题满分 20 分）解线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}+7 x_{5}=4, \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=0, \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3, \\ 5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=2 .\end{array}\right.$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出增广矩阵
将线性方程组写成增广矩阵形式：
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 3 & 3 & 7 & 4 \\
3 & 2 & 1 & 1 & -3 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
5 & 4 & 3 & 3 & -1 & 2
\end{array}\right)
\]
提示：注意增广矩阵的最后一列是常数项，不要写错位置。
步骤 2/7
目标：消去第一列下方元素
将第1行乘以-3加到第2行，乘以-5加到第4行：
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 3 & 3 & 7 & 4 \\
0 & -4 & -8 & -8 & -24 & -12 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
0 & -6 & -12 & -12 & -36 & -18
\end{array}\right)
\]
公式：行变换：$R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1$, $R_4 \leftarrow R_4 - 5R_1$
提示：注意第3行已经是0开头，无需操作。
步骤 3/7
目标：简化第二行
将第2行除以-4，使主元为1：
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 3 & 3 & 7 & 4 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
0 & -6 & -12 & -12 & -36 & -18
\end{array}\right)
\]
公式：$R_2 \leftarrow \frac{R_2}{-4}$
提示：除法运算要仔细，确保每个元素都正确。
步骤 4/7
目标：消去第二列下方元素
将第2行乘以-1加到第3行，乘以6加到第4行：
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 2 & 3 & 3 & 7 & 4 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]
公式：$R_3 \leftarrow R_3 - R_2$, $R_4 \leftarrow R_4 + 6R_2$
提示：注意第3行和第2行相同，相减后全为零。
步骤 5/7
目标：消去第二列上方元素
将第2行乘以-2加到第1行：
\[
\left(\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 & -1 & -1 & -5 & -2 \\
0 & 1 & 2 & 2 & 6 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\]
公式：$R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2$
提示：此时得到行最简形，注意检查主元是否为1且所在列其他元素为0。
步骤 6/7
目标：写出等价方程组并确定自由变量
行最简形对应的方程组为：
\[
\begin{cases}
x_1 - x_3 - x_4 - 5x_5 = -2 \\
x_2 + 2x_3 + 2x_4 + 6x_5 = 3
\end{cases}
\]
主元对应的变量$x_1, x_2$为约束变量，其余$x_3, x_4, x_5$为自由变量。
提示：自由变量的个数等于未知数个数减去矩阵的秩。
步骤 7/7
目标：写出通解
令自由变量$x_3 = c_1$, $x_4 = c_2$, $x_5 = c_3$，则：
\[
\begin{aligned}
x_1 &= -2 + c_1 + c_2 + 5c_3 \\
x_2 &= 3 - 2c_1 - 2c_2 - 6c_3 \\
x_3 &= c_1 \\
x_4 &= c_2 \\
x_5 &= c_3
\end{aligned}
\]
写成向量形式：
\[
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c_1
\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c_2
\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c_3
\begin{pmatrix}
5 \\ -6 \\ 0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix},
\quad c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R}.
\]
提示：注意自由变量的系数向量应正确对应，检查每个分量。
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