南京师范大学 2012年高等代数第9题

设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，假设存在 $m$ 个非零向量 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m$，使得任意两个向量之间的夹角大于 $90^\circ$，即 $(\alpha_i, \alpha_j) < 0$ 对 $i \neq j$。要证明 $m \leq n+1$，采用反证法，假设 $m \geq n+2$。

由于 $m \geq n+2$，向量组 $\alpha_1, \dots, \alpha_m$ 在 $n$ 维空间中必线性相关。存在不全为零的实数 $c_1, \dots, c_m$ 使得 $\sum_{i=1}^m c_i \alpha_i = 0$。将系数分为正负两组：令 $P = \{i: c_i > 0\}$，$N = \{i: c_i < 0\}$，则 $\sum_{i \in P} c_i \alpha_i = \sum_{j \in N} (-c_j) \alpha_j$。记 $\beta = \sum_{i \in P} c_i \alpha_i$，则 $\beta$ 非零（否则所有 $c_i=0$）。

计算 $(\beta, \beta) = \left( \sum_{i \in P} c_i \alpha_i, \sum_{j \in N} (-c_j) \alpha_j \right) = \sum_{i \in P} \sum_{j \in N} c_i (-c_j) (\alpha_i, \alpha_j)$。

由于 $i \in P, j \in N$ 时 $i \neq j$，故 $(\alpha_i, \alpha_j) < 0$，而 $c_i > 0, -c_j > 0$，所以每一项 $c_i (-c_j) (\alpha_i, \alpha_j) < 0$，从而 $(\beta, \beta) < 0$。但内积的正定性要求 $(\beta, \beta) \geq 0$，矛盾。因此假设不成立，$m \leq n+1$。

在 $\mathbb{R}^n$ 中取标准正交基 $e_1, \dots, e_n$。构造向量：$\alpha_i = e_i - \frac{1}{n} \sum_{j \neq i} e_j$ 对 $i=1,\dots,n$，以及 $\alpha_{n+1} = -\sum_{i=1}^n e_i$。验证：对 $i \neq j$ 且 $i,j \leq n$，有 $(\alpha_i, \alpha_j) = -\frac{2}{n} + \frac{n-2}{n^2} = -\frac{n+2}{n^2} < 0$；对 $i \leq n$，$(\alpha_i, \alpha_{n+1}) = -1 + \frac{n-1}{n} = -\frac{1}{n} < 0$。因此这 $n+1$ 个向量两两内积为负，夹角大于 $90^\circ$。

由反证法知 $m \leq n+1$，且存在 $n+1$ 个向量满足条件，故至多有 $n+1$ 个向量使得其中任意两个向量之间的夹角均大于 $90^\circ$。