南京师范大学 2014年高等代数第2题
📝 题目
2、（本题满分 15 分）设 $n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 满足 $\displaystyle |A|=1$ 且 $\displaystyle a_{i j}+a_{j \|}=0, i, j=1,2, \cdots, n$ 。对任意非零实数 $b$ ，计算行列式 $\displaystyle D=\left|\begin{array}{cccc}a_{11}+b & a_{12}+b & \cdots & a_{1 n}+b \\ a_{21}+b & a_{22}+b & \cdots & a_{2 n}+b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1}+b & a_{n 2}+b & \cdots & a_{n n}+b\end{array}\right|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵性质
由条件 $a_{ij}+a_{ji}=0$ 知 $A$ 是反对称矩阵，且 $|A|=1$。由于反对称矩阵的行列式当 $n$ 为奇数时为0，而 $|A|=1\neq0$，故 $n$ 为偶数。设 $n=2m$。
提示：注意反对称矩阵的奇数阶行列式必为0，因此由行列式非零可推出阶数为偶数。
步骤 2/6
目标：将行列式表示为矩阵形式
所求行列式 $D = \det(A + bJ)$，其中 $J$ 是元素全为1的 $n$ 阶矩阵。
公式：D = \det(A + bJ)
提示：注意 $J$ 是每个元素都是1的矩阵，不是单位矩阵。
步骤 3/6
目标：利用行列式性质化简
将第2至第 $n$ 列减去第1列，得
\[ D = \begin{vmatrix} a_{11}+b & a_{12}-a_{11} & \cdots & a_{1n}-a_{11} \\ a_{21}+b & a_{22}-a_{21} & \cdots & a_{2n}-a_{21} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}+b & a_{n2}-a_{n1} & \cdots & a_{nn}-a_{n1} \end{vmatrix}. \]
再将第2至第 $n$ 行减去第1行，得
\[ D = \begin{vmatrix} a_{11}+b & a_{12}-a_{11} & \cdots & a_{1n}-a_{11} \\ a_{21}-a_{11} & a_{22}-a_{21}-a_{12}+a_{11} & \cdots & a_{2n}-a_{21}-a_{1n}+a_{11} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}-a_{11} & a_{n2}-a_{n1}-a_{12}+a_{11} & \cdots & a_{nn}-a_{n1}-a_{1n}+a_{11} \end{vmatrix}. \]
提示：注意列变换和行变换的顺序，以及变换后元素的变化。
步骤 4/6
目标：利用反对称性简化元素
由 $a_{ij}+a_{ji}=0$ 知 $a_{ii}=0$，且 $a_{ji}=-a_{ij}$。因此 $a_{ij}-a_{i1}-a_{1j}+a_{11}=a_{ij}+a_{1i}+a_{j1}$。但更简洁地，注意到变换后的右下角 $(n-1)\times(n-1)$ 子块元素为 $a_{ij}-a_{i1}-a_{1j}+a_{11}$，且该子块也是反对称矩阵（因为 $a_{ij}-a_{i1}-a_{1j}+a_{11}=-(a_{ji}-a_{j1}-a_{1i}+a_{11})$）。
提示：验证反对称性：交换下标后变号。
步骤 5/6
目标：应用行列式公式
另一种更简洁的方法：利用公式 $\det(A + bJ) = \det A + b \sum_{i,j} \operatorname{adj}(A)_{ij}$，其中 $\operatorname{adj}(A)$ 是伴随矩阵。由于 $A$ 可逆且 $|A|=1$，有 $\operatorname{adj}(A)=A^{-1}$。又因为 $A$ 是反对称，$A^{-1}$ 也是反对称，所以 $\sum_{i,j} (A^{-1})_{ij}=0$（因为对角元为0，非对角元成对抵消）。因此 $D = \det A = 1$。
公式：\det(A + bJ) = \det A + b \sum_{i,j} \operatorname{adj}(A)_{ij}
提示：注意公式中 $\operatorname{adj}(A)$ 是伴随矩阵，且 $\sum_{i,j}$ 表示所有元素之和。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，对于任意非零实数 $b$，行列式 $D = 1$。
公式：D = 1
提示：结果与 $b$ 无关，仅由 $A$ 的行列式决定。
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