南京师范大学 2014年高等代数第8题
📝 题目
8、（本题满分 20 分）设 $A$ 为 $n$ 级可逆实矩阵。证明：存在 $n$ 级正交矩阵 $P$ 利 $Q$ ，使得 $\displaystyle P^{\prime} A Q=\left(\begin{array}{llll}\lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n}\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \lambda_{i}>0$ ，且 $\displaystyle \lambda_{i}^{2}$ 为 $\displaystyle A^{\prime} A$ 的特征值 $\displaystyle (i=1,2, \cdots, n)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用正定性，将A'A对角化
由于$A$可逆，$A'A$是正定对称矩阵，故存在正交矩阵$P$使得$P'(A'A)P = \operatorname{diag}(\mu_1,\dots,\mu_n)$，其中$\mu_i>0$是$A'A$的特征值。令$\lambda_i = \sqrt{\mu_i}>0$，则$P'A'AP = \operatorname{diag}(\lambda_1^2,\dots,\lambda_n^2)$。
公式：$P'(A'A)P = \operatorname{diag}(\lambda_1^2,\dots,\lambda_n^2)$
提示：注意$A'A$是实对称矩阵，且正定保证特征值全为正。
步骤 2/5
目标：定义矩阵B并分析其列向量
设$B = AP$，则$B'B = P'A'AP = \operatorname{diag}(\lambda_1^2,\dots,\lambda_n^2)$。记$B$的列向量为$b_1,\dots,b_n$，则$b_i'b_j = \lambda_i^2\delta_{ij}$，即$b_i$相互正交且长度为$\lambda_i$。
公式：$B'B = \operatorname{diag}(\lambda_1^2,\dots,\lambda_n^2)$
提示：注意$b_i$是列向量，内积$b_i'b_j$给出$\lambda_i^2$当$i=j$，否则为0。
步骤 3/5
目标：构造正交矩阵Q
令$Q$的第$i$列为$q_i = \frac{1}{\lambda_i}b_i$，则$q_i'q_j = \frac{1}{\lambda_i\lambda_j}b_i'b_j = \delta_{ij}$，故$Q$是正交矩阵。于是$B = (b_1,\dots,b_n) = (\lambda_1 q_1,\dots,\lambda_n q_n) = Q\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$。
公式：$B = Q\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$
提示：确保$\lambda_i>0$，否则$q_i$无定义。
步骤 4/5
目标：得到A的分解并推出结论
由$AP = B = Q\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，且$P$正交，故$P^{-1}=P'$，所以$A = Q\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)P'$。两边左乘$P'$得$P'AQ = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$。
公式：$P'AQ = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$
提示：注意$P'$是$P$的转置，因为$P$正交，$P'=P^{-1}$。
步骤 5/5
目标：总结结论
存在正交矩阵$P$和$Q$使得$P'AQ$为对角矩阵，对角元$\lambda_i>0$且$\lambda_i^2$是$A'A$的特征值。
提示：结论中$\lambda_i$是$A'A$特征值的平方根。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。