南京师范大学 2015年高等代数第6题
📝 题目
6．（本小题满分 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $\displaystyle V=P^{n \times n}$ 的一个线性变换，满足 $\displaystyle \sigma(A)=A^{\prime}$ ，其中 $\displaystyle A^{\prime}$ 为 $A$ 的转置矩阵，求 $\displaystyle \sigma$ 的全部特征值及对应的特征向量。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立特征方程
设 $\lambda$ 是 $\sigma$ 的特征值，$X$ 是对应的特征向量，即 $X \neq 0$ 且 $\sigma(X) = \lambda X$。由 $\sigma(A)=A'$，得 $X' = \lambda X$。
公式：$X' = \lambda X$
提示：注意特征向量是非零矩阵。
步骤 2/6
目标：推导特征值的条件
对等式 $X' = \lambda X$ 两边取转置，得 $(X')' = (\lambda X)'$，即 $X = \lambda X'$。将 $X' = \lambda X$ 代入，得 $X = \lambda (\lambda X) = \lambda^2 X$，即 $(\lambda^2 - 1)X = 0$。
公式：$X = \lambda^2 X$
提示：转置运算的线性性质：$(\lambda X)' = \lambda X'$。
步骤 3/6
目标：求解特征值
由于 $X \neq 0$，所以 $\lambda^2 - 1 = 0$，解得 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = -1$。
公式：$\lambda^2 = 1$
提示：不要遗漏 $\lambda = -1$。
步骤 4/6
目标：求特征值1的特征向量
当 $\lambda = 1$ 时，特征方程 $X' = X$，即 $X$ 是对称矩阵。所有对称矩阵构成 $V$ 的子空间，维数为 $\frac{n(n+1)}{2}$。一组基为：$E_{ii}$（$i=1,\dots,n$）和 $E_{ij}+E_{ji}$（$1 \le i < j \le n$）。
公式：$X' = X$
提示：对称矩阵的维数计算：主对角线上 $n$ 个，上三角 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个，共 $\frac{n(n+1)}{2}$。
步骤 5/6
目标：求特征值-1的特征向量
当 $\lambda = -1$ 时，特征方程 $X' = -X$，即 $X$ 是反对称矩阵。所有反对称矩阵构成 $V$ 的子空间，维数为 $\frac{n(n-1)}{2}$。一组基为：$E_{ij}-E_{ji}$（$1 \le i < j \le n$）。
公式：$X' = -X$
提示：反对称矩阵主对角线上元素必为0，因此只有 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个自由参数。
步骤 6/6
目标：总结特征值与特征向量
$\sigma$ 的特征值为 $1$（代数重数 $\frac{n(n+1)}{2}$）和 $-1$（代数重数 $\frac{n(n-1)}{2}$）。特征值1的特征向量为所有对称矩阵，特征值-1的特征向量为所有反对称矩阵。
提示：注意特征值的重数等于对应特征子空间的维数。
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