📝 南京师范大学 2015年高等代数真题

1．（本小题满分 10 分）若方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=0, \\ 2 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}=0, \\ x_{1}+x_{2}+a x_{3}=0\end{array}\right.$ 与 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x_{1}+b x_{2}+c x_{3}=0, \\ 2 x_{1}+b^{2} x_{2}+(c+1) x_{3}=0\end{array}\right.$ 同解，求 $\displaystyle a, b, c$的值．

2．（本小题满分 15 分）设行列式 $\displaystyle D=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & \left(\begin{array}{ccc}a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & & \vdots \\ a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right) n \geq 3 \text { ，令 } A_{i j} \text { 表示元素 } a_{i j} \text { 的代数余子式，}\end{array}\right. 1 \leq i, j \leq n$ ，证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1, n-1} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n-1,1} & A_{n-1,2} & \cdots & A_{n-1, n-1}\end{array}\right|=a_{n n} D^{n-2} \cdot \angle ~$ 工 $\displaystyle a n^{n} A i j$.

3．（本小题满分 15 分）已知多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}+2 x^{2}-2, g(x)=x^{2}+x-1, \alpha, \beta, \gamma$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的根，求一个整系数多项式 $\displaystyle h(x)$ ，使其以 $\displaystyle g(\alpha), g(\beta), g(\gamma)$ 为根。
（4．）（本小题满分 20 分）设 $A$ 为反对称实知阵，$\displaystyle \lambda$ 是 $A$ 的一个非零特征值，$\displaystyle \alpha+\mathrm{i} \beta$ 为 $A$ 的属丁 $\displaystyle \lambda$ 的复特征向量，其中 $\displaystyle \alpha$ 利 $\displaystyle \beta$ 均为实向量，证明：（1）$\displaystyle \lambda$ 为纯虚数；（2）$\displaystyle \alpha$ 和 $\displaystyle \beta$ 的长度相等且坐相止交．

5．（本小题满分 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 和 $\displaystyle \tau$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个线性变换，满足 $\displaystyle \sigma+\tau=\varepsilon$（恒等变换），且 $\displaystyle \sigma \tau=0$ ，证明：$\displaystyle V=\sigma(V) \oplus \tau(V)$ ．

$$
v=\sigma(v)+
$$

6．（本小题满分 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $\displaystyle V=P^{n \times n}$ 的一个线性变换，满足 $\displaystyle \sigma(A)=A^{\prime}$ ，其中 $\displaystyle A^{\prime}$ 为 $A$ 的转置矩阵，求 $\displaystyle \sigma$ 的全部特征值及对应的特征向量。

7．（本小题满分 25 分）设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵， $\displaystyle \operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}$ 称为矩阵 $A$ 的迹。（1）若 $\displaystyle f(x)=\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}(x-1)$ 是 6 阶方阵 $A$ 的最小爫项式，且 $\displaystyle \operatorname{Tr}(A)=6$ ，求 $A$ 的若小当标准形；（2）若 $\displaystyle B, C$ 均为对称半止定实矩阵，并且 $\displaystyle T r(B C)=0$ ，证明：对任意的止整数 $\displaystyle m,(B+C)^{m}=B^{m}+C^{m}$ ．

8．（本小题满分 25 分）设 $A$ 是复数域上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle A^{n}=0$ ，且 $\displaystyle A^{n-1} \neq 0$ ，（1）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，其对应的特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda}=\{\alpha \mid A \alpha=\lambda \alpha, \alpha$ 是复向量 $\displaystyle \}$ ，证明：$\displaystyle V_{\lambda}$ 的维数是 1 ；（2）是否存在一个复知阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A$ ？请说明理由．

$$
\begin{aligned}
& A x=\lambda x \\
& \frac{A^{n} x}{A^{n+1} x}=\lambda^{n} x=0 \\
& f(\partial)=f(\beta)=f(\gamma)=0 \\
& g(\gamma)= \\
& {[x-g(\gamma)][x-g(\beta)=\text { in }} \\
& \hline x-g) x=0
\end{aligned}
$$

## $\displaystyle \pm 1 \pm 2$

（－2）$\displaystyle -8+8-$

$$
\partial^{2} \cdot(\partial+2)-2=0
$$

102.

$$
\begin{aligned}
& \gamma^{3}+2 \gamma^{2}-2=0 \\
& \gamma^{2}+\gamma-1=
\end{aligned}
$$