南京师范大学 2015年高等代数第1题

第一个方程组是齐次线性方程组，系数矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$。对 $A$ 进行初等行变换： $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3-R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & a-3 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3-R_2} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & a-2 \end{pmatrix}.$$

由行简化矩阵可知： - 若 $a \neq 2$，则系数矩阵秩为3，方程组只有零解。 - 若 $a = 2$，则系数矩阵秩为2，解空间维数为1，基础解系为 $(1, -1, 1)^T$（由 $x_1 - x_3 = 0$ 和 $x_2 + x_3 = 0$ 取 $x_3=1$ 得到）。

第二个方程组系数矩阵为 $B = \begin{pmatrix} 1 & b & c \\ 2 & b^2 & c+1 \end{pmatrix}$。由于两个方程组同解，需分情况讨论。

此时 $a \neq 2$，第二个方程组也必须只有零解，即 $B$ 的秩为2（因为未知数3个，方程2个，秩为2时只有零解）。$B$ 的秩为2当且仅当两行线性无关，即不成比例。若成比例，则存在 $k$ 使得 $2=k\cdot1$, $b^2=k b$, $c+1=k c$，解得 $k=2$，$b=0$ 或 $b=2$，$c=1$。因此，当 $(b,c) \neq (0,1)$ 且 $(b,c) \neq (2,1)$ 时，$B$ 秩为2，第二个方程组只有零解。但此时 $a,b,c$ 有无穷多组解，题目通常要求具体数值，故考虑情况2。

此时 $a=2$，第一个方程组的解空间由 $(1,-1,1)^T$ 生成。第二个方程组必须与它同解，即解空间维数为1且包含该向量。将 $(1,-1,1)^T$ 代入第二个方程组： $$\begin{cases} 1 - b + c = 0 \\ 2 - b^2 + c + 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} c = b - 1 \\ 3 - b^2 + c = 0 \end{cases}.$$ 代入得 $3 - b^2 + (b-1) = 0$，即 $b^2 - b - 2 = 0$，解得 $b = -1$ 或 $b = 2$。

- 若 $b = -1$，则 $c = -2$，此时 $B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$，两行不成比例，秩为2，解空间维数为1，且 $(1,-1,1)$ 是解，故解空间相同。 - 若 $b = 2$，则 $c = 1$，此时 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \end{pmatrix}$，两行成比例，秩为1，解空间维数为2，包含 $(1,-1,1)$ 但还有更多解，解空间不同。因此 $b=2$ 舍去。

综合两种情况，只有 $a=2$, $b=-1$, $c=-2$ 满足同解条件。