南京师范大学 2015年高等代数第2题

2．（本小题满分 15 分）设行列式 $\displaystyle D=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & \left(\begin{array}{ccc}a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & & \vdots \\ a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right) n \geq 3 \text { ，令 } A_{i j} \text { 表示元素 } a_{i j} \text { 的代数余子式，}\end{array}\right. 1 \leq i, j \leq n$ ，证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1, n-1} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n-1,1} & A_{n-1,2} & \cdots & A_{n-1, n-1}\end{array}\right|=a_{n n} D^{n-2} \cdot \angle ~$ 工 $\displaystyle a n^{n} A i j$.