南京师范大学 2015年高等代数第3题

3．（本小题满分 15 分）已知多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}+2 x^{2}-2, g(x)=x^{2}+x-1, \alpha, \beta, \gamma$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的根，求一个整系数多项式 $\displaystyle h(x)$ ，使其以 $\displaystyle g(\alpha), g(\beta), g(\gamma)$ 为根。 （4．）（本小题满分 20 分）设 $A$ 为反对称实知阵，$\displaystyle \lambda$ 是 $A$ 的一个非零特征值，$\displaystyle \alpha+\mathrm{i} \beta$ 为 $A$ 的属丁 $\displaystyle \lambda$ 的复特征向量，其中 $\displaystyle \alpha$ 利 $\displaystyle \beta$ 均为实向量，证明：（1）$\displaystyle \lambda$ 为纯虚数；（2）$\displaystyle \alpha$ 和 $\displaystyle \beta$ 的长度相等且坐相止交．