南京师范大学 2015年高等代数第5题
📝 题目
5．（本小题满分 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 和 $\displaystyle \tau$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个线性变换，满足 $\displaystyle \sigma+\tau=\varepsilon$（恒等变换），且 $\displaystyle \sigma \tau=0$ ，证明：$\displaystyle V=\sigma(V) \oplus \tau(V)$ ．
$$
v=\sigma(v)+
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明 V = σ(V) + τ(V)
对任意 $v \in V$，由 $\sigma + \tau = \varepsilon$ 得 $v = \sigma(v) + \tau(v) \in \sigma(V) + \tau(V)$，因此 $V \subseteq \sigma(V) + \tau(V)$。显然 $\sigma(V) + \tau(V) \subseteq V$，故 $V = \sigma(V) + \tau(V)$。
公式：$\sigma + \tau = \varepsilon$
提示：注意恒等变换的定义：$\varepsilon(v)=v$。
步骤 2/4
目标：推导 σ² = σ 和 τ² = τ
由 $\sigma + \tau = \varepsilon$ 得 $\tau = \varepsilon - \sigma$。代入 $\sigma\tau = 0$ 得 $\sigma(\varepsilon - \sigma) = 0$，即 $\sigma - \sigma^2 = 0$，所以 $\sigma^2 = \sigma$。同理，$\tau^2 = \tau$。
公式：$\sigma^2 = \sigma$, $\tau^2 = \tau$
提示：注意 $\sigma\tau=0$ 不一定推出 $\tau\sigma=0$，但这里通过恒等变换可推出幂等性。
步骤 3/4
目标：证明 σ(V) ∩ τ(V) = {0}
设 $w \in \sigma(V) \cap \tau(V)$，则存在 $x, y \in V$ 使 $w = \sigma(x) = \tau(y)$。计算 $\sigma(w) = \sigma(\tau(y)) = 0$，$\tau(w) = \tau(\sigma(x))$。由 $\tau = \varepsilon - \sigma$ 得 $\tau(w) = (\varepsilon - \sigma)(\sigma(x)) = \sigma(x) - \sigma^2(x) = \sigma(x) - \sigma(x) = 0$。于是 $\sigma(w)=0$，$\tau(w)=0$。由 $\sigma+\tau=\varepsilon$ 得 $w = \sigma(w) + \tau(w) = 0$，故 $\sigma(V) \cap \tau(V) = \{0\}$。
公式：$\sigma(w)=0$, $\tau(w)=0$
提示：注意 $\tau(w)$ 的计算需利用 $\tau = \varepsilon - \sigma$ 和 $\sigma^2=\sigma$，避免直接使用 $\tau\sigma=0$（未证明）。
步骤 4/4
目标：由直和定义得结论
由 $V = \sigma(V) + \tau(V)$ 且 $\sigma(V) \cap \tau(V) = \{0\}$，根据直和的定义，$V = \sigma(V) \oplus \tau(V)$。
提示：直和需要满足和空间与交空间为零两个条件。
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