南京师范大学 2017年高等代数第2题
📝 题目
2．（15 分）设 $A$ 是一个 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，秩 $\displaystyle (A)=r$ ，在 $A$ 中任取 $s$ 个列向量作为列向量构成的矩阵为 $B$ 。
证明：秩 $\displaystyle (B) \geq r+s-m$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定符号与问题转化
设 $A$ 是 $n \times m$ 矩阵，秩 $r$。任取 $s$ 列构成 $n \times s$ 矩阵 $B$。不妨设 $B$ 由前 $s$ 列构成，即 $B = (\alpha_1, \dots, \alpha_s)$，其中 $\alpha_i$ 是 $A$ 的列向量。剩下的 $m-s$ 列构成矩阵 $C = (\alpha_{s+1}, \dots, \alpha_m)$，则 $A = (B \mid C)$。
提示：注意：这里假设了取前 $s$ 列，实际上任意 $s$ 列可通过列置换化为前 $s$ 列，秩不变，因此不失一般性。
步骤 2/6
目标：定义向量空间
考虑 $A$ 的列向量张成的空间 $V = \operatorname{span}\{\alpha_1,\dots,\alpha_m\}$，则 $\dim V = r$。设 $U = \operatorname{span}\{\alpha_1,\dots,\alpha_s\}$，$W = \operatorname{span}\{\alpha_{s+1},\dots,\alpha_m\}$，则 $V = U + W$。
提示：注意 $U$ 和 $W$ 都是 $V$ 的子空间，且 $V$ 是它们的和。
步骤 3/6
目标：应用维数公式
由维数公式：$\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$，代入 $\dim V = r$，$\dim U = \operatorname{rank}(B)$，$\dim W = \operatorname{rank}(C)$，得：
$$r = \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) - \dim(U \cap W).$$
公式：$\dim(U+W) = \dim U + \dim W - \dim(U \cap W)$
提示：维数公式适用于有限维向量空间的子空间，注意 $U \cap W$ 的维数非负。
步骤 4/6
目标：放缩不等式
由于 $U \cap W \subseteq W$，所以 $\dim(U \cap W) \leq \dim W = \operatorname{rank}(C)$。代入上式得：
$$r \geq \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) - \operatorname{rank}(C) = \operatorname{rank}(B).$$
实际上更精确地，由 $\dim(U \cap W) \geq 0$ 得 $r \leq \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C)$。
提示：注意放缩方向：$\dim(U \cap W) \leq \operatorname{rank}(C)$ 给出 $r \geq \operatorname{rank}(B)$，但我们需要的是下界，所以用 $\dim(U \cap W) \geq 0$ 得到 $r \leq \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C)$。
步骤 5/6
目标：利用列数限制
因为 $C$ 有 $m-s$ 列，所以 $\operatorname{rank}(C) \leq m-s$。结合 $r \leq \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C)$，得：
$$r \leq \operatorname{rank}(B) + (m-s).$$
公式：$\operatorname{rank}(C) \leq m-s$
提示：矩阵的秩不超过其列数，这是基本性质。
步骤 6/6
目标：移项得结论
将不等式 $r \leq \operatorname{rank}(B) + m - s$ 移项，得到：
$$\operatorname{rank}(B) \geq r + s - m.$$
这正是要证明的结论。
提示：注意移项时符号变化：$r \leq \operatorname{rank}(B) + m - s$ 等价于 $\operatorname{rank}(B) \geq r + s - m$。
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