南京师范大学 2017年高等代数第4题

由 $A^*$ 的秩为4可知 $|A| \neq 0$。利用公式 $AA^* = |A|E$ 两边取行列式得 $|A||A^*| = |A|^4$，即 $|A|^3 = |A^*|$。计算 $|A^*| = 1 \times 1 \times 1 \times 8 = 8$，所以 $|A| = 2$。

由 $AA^* = |A|E = 2E$ 得 $A = 2(A^*)^{-1}$。先求 $(A^*)^{-1}$：对 $A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -3 & 0 & 8 \end{pmatrix}$，通过初等行变换或分块求逆得 $(A^*)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{8} & \frac{3}{8} & 0 & \frac{1}{8} \end{pmatrix}$。因此 $A = 2(A^*)^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 2 & 0 \\ -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$。

已知 $ABA^{-1} = BA^{-1} + 3E$，两边右乘 $A$ 得 $AB = B + 3A$，移项得 $AB - B = 3A$，即 $(A - E)B = 3A$。由于 $A$ 可逆且 $A \neq E$，但 $A-E$ 可逆（后面验证），所以 $B = 3(A - E)^{-1}A$。

计算 $A - E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0 & -\frac{3}{4} \end{pmatrix}$。求逆得 $(A - E)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{5}{3} & 1 & 0 & -\frac{4}{3} \end{pmatrix}$。

代入 $B = 3(A - E)^{-1}A$：$B = 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ -\frac{5}{3} & 1 & 0 & -\frac{4}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 2 & 0 \\ -\frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 6 & 0 \\ -\frac{19}{2} & \frac{9}{2} & 0 & -1 \end{pmatrix}$。