南京师范大学 2017年高等代数第7题
📝 题目
7．（20 分）设有限维线性空间 $V$ 的维数 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ．证明：$V$ 的任意真子空间均可表为若干个 $\displaystyle n-1$ 维子空间的交．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设子空间W并取基
设 $W$ 是 $V$ 的任意真子空间，则 $\dim W = m < n$。取 $W$ 的一组基 $\alpha_1,\dots,\alpha_m$。
提示：注意真子空间意味着维数严格小于n。
步骤 2/6
目标：扩充为V的基
将 $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ 扩充为 $V$ 的一组基 $\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_{m+1},\dots,\beta_n$。
提示：扩充基时，添加的向量必须线性无关且能生成整个空间。
步骤 3/6
目标：构造n-1维子空间U_j
对每个 $j=m+1,\dots,n$，考虑由 $\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta_{m+1},\dots,\hat{\beta_j},\dots,\beta_n$ 张成的子空间 $U_j$，即去掉 $\beta_j$ 后其余基向量张成的子空间。则 $\dim U_j = n-1$，且 $W \subseteq U_j$。
提示：注意 $\hat{\beta_j}$ 表示去掉该向量；每个U_j的维数都是n-1，因为基向量个数为n-1。
步骤 4/6
目标：证明W包含于交
显然 $W \subseteq \bigcap_{j=m+1}^n U_j$，因为每个 $U_j$ 都包含 $W$。
提示：这一步是直接的，因为W是每个U_j的子空间。
步骤 5/6
目标：证明交包含于W
任取 $x \in \bigcap_{j=m+1}^n U_j$，则 $x$ 可表示为 $x = \sum_{i=1}^m a_i\alpha_i + \sum_{j=m+1}^n b_j\beta_j$。由于 $x \in U_k$ 对每个 $k$，而 $U_k$ 中不含 $\beta_k$，故 $b_k=0$。因此所有 $b_j=0$，从而 $x \in W$。
提示：关键：因为U_k由除β_k外的基向量张成，所以任何U_k中的向量在β_k上的系数必须为0。
步骤 6/6
目标：得出结论
所以 $W = \bigcap_{j=m+1}^n U_j$，即 $W$ 可表为 $n-m$ 个 $n-1$ 维子空间的交。
提示：注意交的个数是n-m，即W的余维数。
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