南京师范大学 2021年高等代数第1题
📝 题目
1．（每小题 10 分，共 20 分）计算下列行列式：
（1）$\displaystyle \quad\left|\begin{array}{cccc}2 & -4 & -3 & 5 \\ -3 & 1 & 4 & -2 \\ 7 & 2 & 5 & 3 \\ 4 & -3 & -2 & 6\end{array}\right|$
（2）$\displaystyle \quad D_{n}=\left|\begin{array}{cccccccc}2 a & a^{2} & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 a & a^{2} & 0 & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 a & a^{2} & \ldots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 2 a & a^{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1 & 2 a\end{array}\right|$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将行列式化为上三角形式
对行列式进行初等行变换，将第一列除第一行外化为零。将第1行乘以$\frac{3}{2}$加到第2行，乘以$-\frac{7}{2}$加到第3行，乘以$-2$加到第4行，得到：
$$\begin{vmatrix} 2 & -4 & -3 & 5 \\ 0 & -5 & -\frac{1}{2} & \frac{11}{2} \\ 0 & 16 & \frac{31}{2} & -\frac{29}{2} \\ 0 & 5 & 4 & -4 \end{vmatrix}$$
公式：初等行变换不改变行列式的值
提示：注意行变换时，乘以系数加到另一行，行列式的值不变。
步骤 2/7
目标：继续化为上三角形式
将第二列除前两行外化为零。将第2行乘以$\frac{16}{5}$加到第3行，将第2行乘以$1$加到第4行，得到：
$$\begin{vmatrix} 2 & -4 & -3 & 5 \\ 0 & -5 & -\frac{1}{2} & \frac{11}{2} \\ 0 & 0 & \frac{147}{10} & -\frac{147}{10} \\ 0 & 0 & \frac{39}{10} & -\frac{9}{10} \end{vmatrix}$$
提示：注意分数运算的准确性。
步骤 3/7
目标：化为上三角行列式
将第三列除前三行外化为零。将第3行乘以$-\frac{39}{147}$加到第4行，得到：
$$\begin{vmatrix} 2 & -4 & -3 & 5 \\ 0 & -5 & -\frac{1}{2} & \frac{11}{2} \\ 0 & 0 & \frac{147}{10} & -\frac{147}{10} \\ 0 & 0 & 0 & \frac{36}{7} \end{vmatrix}$$
提示：注意化简分数，避免计算错误。
步骤 4/7
目标：计算上三角行列式的值
上三角行列式的值等于对角线元素的乘积：
$$2 \times (-5) \times \frac{147}{10} \times \frac{36}{7} = -2 \times 5 \times \frac{147}{10} \times \frac{36}{7} = -\frac{2 \times 5 \times 147 \times 36}{10 \times 7} = -\frac{147 \times 36}{7} = -21 \times 36 = -756$$
公式：上三角行列式的值等于对角线元素的乘积
提示：注意符号：负号来自第二行主元-5。
步骤 5/7
目标：建立递推关系
对于$n$阶行列式$D_n$，按第一行展开：
$$D_n = 2a \cdot D_{n-1} - a^2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a^2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 2a & a^2 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 2a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2a \end{vmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}$$ 其中第二个行列式按第一列展开得$1 \cdot D_{n-2}$，因此：
$$D_n = 2a D_{n-1} - a^2 D_{n-2}$$
公式：行列式按行（列）展开定理
提示：注意展开时符号：$(-1)^{1+2} = -1$，所以第二项为$-a^2$乘以余子式。
步骤 6/7
目标：求解递推关系
递推关系$D_n = 2a D_{n-1} - a^2 D_{n-2}$的特征方程为$r^2 - 2a r + a^2 = 0$，解得$r = a$（二重根）。因此通解为$D_n = (c_1 + c_2 n) a^n$。
公式：二阶线性齐次递推关系的解法
提示：特征根为重根时，通解形式为$(c_1 + c_2 n) r^n$。
步骤 7/7
目标：确定常数
初始条件：$D_1 = 2a$，$D_2 = \begin{vmatrix} 2a & a^2 \\ 1 & 2a \end{vmatrix} = 4a^2 - a^2 = 3a^2$。代入通解：
$n=1$: $(c_1 + c_2) a = 2a \Rightarrow c_1 + c_2 = 2$
$n=2$: $(c_1 + 2c_2) a^2 = 3a^2 \Rightarrow c_1 + 2c_2 = 3$
解得$c_1 = 1, c_2 = 1$。因此$D_n = (n+1)a^n$。
提示：注意$D_2$的计算不要出错。
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